Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
Para isso, vamos utilizar conceitos de transformada de Laplace, como decomposição em frações parciais e propriedades conhecidas das transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração dada em partes mais simples usando frações parciais. A expressão é:
Vamos supor que pode ser escrita como:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo e na segunda equação:
Então, e .
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a fração do segundo termo completando o quadrado no denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Agora, aplicamos as transformadas inversas conhecidas: