Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
2 s+1(s+1)(s^2+2 s+2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
2s + 1(s + 1)(s^2 + 2s + 2)
Para isso, vamos utilizar conceitos de transformada de Laplace, como decomposição em frações parciais e propriedades conhecidas das transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração dada em partes mais simples usando frações parciais. A expressão é:
2s + 1(s + 1)(s^2 + 2s + 2)
Vamos supor que pode ser escrita como:
As + 1 + Bs + Cs^2 + 2s + 2
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2s + 1 = A(s^2 + 2s + 2) + (Bs + C)(s + 1) para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
2s + 1 = A s^2 + 2A s + 2A + B s^2 + B s + C s + C
Agrupando os termos semelhantes:
2s + 1 = (A + B)s^2 + (2A + B + C)s + (2A + C)

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 0 2A + B + C = 2 2A + C = 1
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: 2A - A + (1 - 2A) = 2 -A + 1 = 2 -A = 1 A = -1 .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Substituindo e na segunda equação:
  4. Então, e .

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
2s + 1(s + 1)(s^2 + 2s + 2) = -1s + 1 + 1s + 3s^2 + 2s + 2

Passo 7

Agora, vamos simplificar a fração do segundo termo completando o quadrado no denominador:
s^2 + 2s + 2 = (s + 1)^2 + 1
Então, a expressão fica:
-1s + 1 + (s + 1) + 2(s + 1)^2 + 1 = -1s + 1 + s + 1(s + 1)^2 + 1 + 2(s + 1)^2 + 1

Passo 8

Agora, aplicamos as transformadas inversas conhecidas:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
f(t) = -e^-t + e^-t cos(t) + 2e^-t sin(t) = e^-t ( cos(t) + 2sin(t) - 1 )

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