Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que a gente tem é:
com as condições iniciais
e
onde
é a função degrau de Heaviside. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e saber manipular as propriedades das transformadas para resolver para
, a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
e
.
Aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que nos permite separar os termos:
Passo 4
Precisamos lembrar como a transformada de Laplace lida com derivadas. As fórmulas são:
Como temos as condições iniciais
e
, podemos simplificar.
Aplicando isso, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que
, cujo Laplace é
. A derivada de
é
. A transformada de
é:
Como
, temos
. Então:
Mas isso não faz sentido, então na verdade devemos reconsiderar. A derivada de
é a função delta de Dirac, que tem transformada de Laplace 1. Então:
Passo 6
Voltando à nossa equação:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 8
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace. Decompomos a fração em frações parciais:
Resolvendo para
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 9
Agora, fazemos a transformada inversa de Laplace:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A solução é
.