Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
(D^2+3 D+2) y(t)=D x(t)
se y(0^-)=doty(0^-)=0 e x(t)=u(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que a gente tem é:
(D^2 + 3D + 2) y(t) = D x(t)
com as condições iniciais e onde é a função degrau de Heaviside. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e saber manipular as propriedades das transformadas para resolver para , a transformada de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que LD^2 y(t) + 3D y(t) + 2 y(t) = LD x(t) e .
Aplicando a transformada:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que nos permite separar os termos:
LD^2 y(t) + 3 LD y(t) + 2 Ly(t) = LD x(t)

Passo 4

Precisamos lembrar como a transformada de Laplace lida com derivadas. As fórmulas são:
Ly'(t) = s Y(s) - y(0)
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como temos as condições iniciais (s^2 Y(s) - 0 - 0) + 3 (s Y(s) - 0) + 2 Y(s) = LD x(t) e s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = LD x(t) , podemos simplificar.
Aplicando isso, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar Lx'(t) = s X(s) - x(0) . Sabemos que LD x(t) = s cdot 1s - 1 = 1 - 1 = 0 , cujo Laplace é LD x(t) = 1 . A derivada de é . A transformada de é:
Como , temos . Então:
Mas isso não faz sentido, então na verdade devemos reconsiderar. A derivada de é a função delta de Dirac, que tem transformada de Laplace 1. Então:

Passo 6

Voltando à nossa equação:
s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 2 Y(s) = 1
Fatorando Y(s) (s^2 + 3 s + 2) = 1 :

Passo 7

Agora, vamos resolver para Y(s) = 1s^2 + 3 s + 2 :
s^2 + 3 s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Podemos fatorar o denominador:
Y(s) = 1(s + 1)(s + 2)
Então:

Passo 8

Para encontrar 1(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2 , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace. Decompomos a fração em frações parciais:
1 = A(s + 2) + B(s + 1)
Resolvendo para 1 = A(-1 + 2) + B(0) Rightarrow A = 1 e 1 = A(0) + B(-2 + 1) Rightarrow B = -1 :
Multiplicando ambos os lados por Y(s) = 1s + 1 - 1s + 2 :
Para :
Para :
Então:

Passo 9

Agora, fazemos a transformada inversa de Laplace:
y(t) = L^-11s + 1 - L^-11s + 2
Sabendo que y(t) = e^-t - e^-2 t , temos:

Resposta

A solução é .

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