Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de realimentação unitária com a função de transferência dada por:
O objetivo é descobrir para quais valores de
o sistema permanece estável ou se torna instável. Vamos usar conceitos de controle de sistemas e, mais especificamente, o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função de transferência. Observe que temos o termo
tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esses termos:
Agora, o sistema com realimentação unitária tem a função de transferência fechada:
Passo 3
Para analisar a estabilidade, precisamos olhar para o polinômio característico do sistema, que é o denominador da função de transferência fechada igualado a zero:
Vamos expandir isso:
Esse é o polinômio para o qual usaremos o Critério de Routh-Hurwitz.
Passo 4
O Critério de Routh-Hurwitz nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema examinando os sinais dos coeficientes na primeira coluna da tabela de Routh. Para o polinômio
, construímos a tabela da seguinte forma:
-
Escrevemos os coeficientes dos termos de maior grau:
-
Linha
: 1 (coeficiente de ) e (coeficiente de ) -
Linha
: 1.2 (coeficiente de ) e 0 (não há termo de )
-
-
A tabela fica assim:
s² | 1 | K |
---|---|---|
s¹ | 1.2 | 0 |
s⁰ | K |
Passo 5
Agora, analisamos os sinais na primeira coluna da tabela:
-
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos.
- Primeiro elemento: 1 > 0
- Segundo elemento: 1.2 > 0
- Terceiro elemento: K > 0
-
Se algum desses elementos for negativo ou zero, o sistema pode se tornar instável.
Passo 6
Com base nisso, concluímos que:
- Para
: Todos os elementos são positivos, então o sistema é estável. - Para
: O último elemento é negativo, o que faz com que haja uma mudança de sinal na primeira coluna, indicando instabilidade.
Resposta
O sistema é estável para todos os valores de
positivos (
) e torna-se instável para valores negativos de
(
).