Dado o sistema com realimentação unitária com,
G(s)=K(s+2)s(s+1,2)(s+2)
determine a faixa de K que mantém o sistema estável e instável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de realimentação unitária com a função de transferência dada por:
G(s)=K(s+2)s(s+1.2)(s+2)
O objetivo é descobrir para quais valores de o sistema permanece estável ou se torna instável. Vamos usar conceitos de controle de sistemas e, mais especificamente, o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de transferência. Observe que temos o termo G(s) = Ks(s+1.2) tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esses termos:
T(s) = G(s)1 + G(s) = Ks(s+1.2)1 + Ks(s+1.2) = Ks(s+1.2) + K
Agora, o sistema com realimentação unitária tem a função de transferência fechada:

Passo 3

Para analisar a estabilidade, precisamos olhar para o polinômio característico do sistema, que é o denominador da função de transferência fechada igualado a zero:
s(s+1.2) + K = 0
Vamos expandir isso:
s^2 + 1.2s + K = 0
Esse é o polinômio para o qual usaremos o Critério de Routh-Hurwitz.

Passo 4

O Critério de Routh-Hurwitz nos ajuda a determinar a estabilidade de um sistema examinando os sinais dos coeficientes na primeira coluna da tabela de Routh. Para o polinômio , construímos a tabela da seguinte forma:
  1. Escrevemos os coeficientes dos termos de maior grau:
    • Linha : 1 (coeficiente de ) e (coeficiente de )
    • Linha : 1.2 (coeficiente de ) e 0 (não há termo de )
  2. A tabela fica assim:
1 K
1.2 0
s⁰ K

Passo 5

Agora, analisamos os sinais na primeira coluna da tabela:
  • Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos.
    • Primeiro elemento: 1 > 0
    • Segundo elemento: 1.2 > 0
    • Terceiro elemento: K > 0
  • Se algum desses elementos for negativo ou zero, o sistema pode se tornar instável.

Passo 6

Com base nisso, concluímos que:
  • Para : Todos os elementos são positivos, então o sistema é estável.
  • Para : O último elemento é negativo, o que faz com que haja uma mudança de sinal na primeira coluna, indicando instabilidade.

Resposta

O sistema é estável para todos os valores de positivos ( ) e torna-se instável para valores negativos de ( ).

Exercícios relacionados