Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
T(s)=bs+a
Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando b=a. Determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de assentamento.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre sistemas de controle, especificamente determinando a resposta ao degrau unitário para a função de transferência . Para isso, vamos precisar entender conceitos como transformada de Laplace, resposta ao degrau, constante de tempo, tempo de subida e tempo de assentamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a resposta ao degrau unitário. A função de transferência Y(s) = T(s) cdot 1s = bs(s + a) relaciona a entrada e a saída no domínio de Laplace. Para encontrar a resposta no tempo, multiplicamos pela transformada do degrau unitário, que é :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para obter a resposta no tempo bs(s + a) = As + Bs + a . Podemos decompor a fração em frações parciais:
b = A(s + a) + Bs
Multiplicando ambos os lados por b = A(a) implies A = ba :
b = B(-a) implies B = -ba
Para encontrar bs(s + a) = ba cdot 1s - ba cdot 1s + a e y(t) = ba cdot 1 - ba e^-a t = ba (1 - e^-a t) , vamos escolher valores de :
  • Se :
  • Se :
Então:
Aplicando a transformada inversa:

Passo 4

A constante de tempo tau = 1a de um sistema de primeira ordem é dada por:
Essa constante indica a rapidez com que o sistema responde ao degrau. Um menor significa uma resposta mais rápida.

Passo 5

O tempo de assentamento ts approx 4tau = 4a é o tempo necessário para a resposta atingir e permanecer dentro de uma certa margem de erro (geralmente 2%) do valor final. Para sistemas de primeira ordem, utiliza-se:

Passo 6

O tempo de subida tr = tau ln(91) approx tau cdot 2.197 approx 2.197a é o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Para um sistema de primeira ordem, calculamos:

Passo 7

Agora, analisando o caso quando y(t) = aa (1 - e^-a t) = 1 - e^-a t :
y(infty) = 1
À medida que , , então:
Isso significa que a resposta em regime permanente é 1, ou seja, a saída alcança exatamente o valor do degrau unitário.

Resposta

A resposta ao degrau unitário é . Quando , a resposta em regime permanente é 1. A constante de tempo é , o tempo de subida é aproximadamente e o tempo de assentamento é .

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