Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando
. Determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre sistemas de controle, especificamente determinando a resposta ao degrau unitário para a função de transferência
. Para isso, vamos precisar entender conceitos como transformada de Laplace, resposta ao degrau, constante de tempo, tempo de subida e tempo de assentamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a resposta ao degrau unitário. A função de transferência
relaciona a entrada e a saída no domínio de Laplace. Para encontrar a resposta no tempo, multiplicamos
pela transformada do degrau unitário, que é
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para obter a resposta no tempo
. Podemos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então:
Aplicando a transformada inversa:
Passo 4
A constante de tempo
de um sistema de primeira ordem é dada por:
Essa constante indica a rapidez com que o sistema responde ao degrau. Um
menor significa uma resposta mais rápida.
Passo 5
O tempo de assentamento
é o tempo necessário para a resposta atingir e permanecer dentro de uma certa margem de erro (geralmente 2%) do valor final. Para sistemas de primeira ordem, utiliza-se:
Passo 6
O tempo de subida
é o tempo que a resposta leva para ir de 10% a 90% do valor final. Para um sistema de primeira ordem, calculamos:
Passo 7
Agora, analisando o caso quando
:
À medida que
,
, então:
Isso significa que a resposta em regime permanente é 1, ou seja, a saída alcança exatamente o valor do degrau unitário.
Resposta
A resposta ao degrau unitário é
. Quando
, a resposta em regime permanente é 1. A constante de tempo é
, o tempo de subida é aproximadamente
e o tempo de assentamento é
.
Exercícios relacionados
Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.