Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
& d^3 y(t)d t^3+6 d^2 y(t)d t^2-11 d y(t)d t+6 y(t)= & 3 d^2 x(t)d t^2+7 d x(t)d t+5 x(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve um sistema. Nosso objetivo é encontrar a função de transferência desse sistema, que basicamente relaciona a entrada com a saída . Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e álgebra de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de transferência. Ela é definida como , onde e são as transformadas de Laplace de e , respectivamente. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de , facilitando a resolução.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial dada. Lembrando que, quando aplicamos a transformada de Laplace em derivadas, temos:
L d^n y(t)dt^n = s^n Y(s) - s^n-1 y(0) - dots - y^(n-1)(0)
Como não temos condições iniciais especificadas, vamos assumir que todas são zero (início em repouso).

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na equação:
s^3 Y(s) + 6 s^2 Y(s) - 11 s Y(s) + 6 Y(s) = 3 s^2 X(s) + 7 s X(s) + 5 X(s)
Aqui, transformamos cada derivada de e conforme a regra da transformada de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos fatorar Y(s) (s^3 + 6 s^2 - 11 s + 6) = X(s) (3 s^2 + 7 s + 5) e em ambos os lados:
Nosso próximo passo é isolar para encontrar a função de transferência.

Passo 6

Dividindo ambos os lados da equação por Y(s)X(s) = 3 s^2 + 7 s + 5s^3 + 6 s^2 - 11 s + 6 , temos:
Essa fração representa a função de transferência do sistema.

Resposta

A função de transferência do sistema é:
H(s) = Y(s)X(s) = 3 s^2 + 7 s + 5s^3 + 6 s^2 - 11 s + 6

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