Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve um sistema. Nosso objetivo é encontrar a função de transferência desse sistema, que basicamente relaciona a entrada com a saída . Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e álgebra de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de transferência. Ela é definida como , onde e são as transformadas de Laplace de e , respectivamente. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de , facilitando a resolução.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial dada. Lembrando que, quando aplicamos a transformada de Laplace em derivadas, temos:
Como não temos condições iniciais especificadas, vamos assumir que todas são zero (início em repouso).

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Aqui, transformamos cada derivada de e conforme a regra da transformada de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos fatorar e em ambos os lados:
Nosso próximo passo é isolar para encontrar a função de transferência.

Passo 6

Dividindo ambos os lados da equação por , temos:
Essa fração representa a função de transferência do sistema.

Resposta

A função de transferência do sistema é:

Exercícios relacionados

Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se e .
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.
Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada .
A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo .