Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve um sistema. Nosso objetivo é encontrar a função de transferência desse sistema, que basicamente relaciona a entrada
com a saída
. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e álgebra de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função de transferência. Ela é definida como
, onde
e
são as transformadas de Laplace de
e
, respectivamente. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de
, facilitando a resolução.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial dada. Lembrando que, quando aplicamos a transformada de Laplace em derivadas, temos:
Como não temos condições iniciais especificadas, vamos assumir que todas são zero (início em repouso).
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Aqui, transformamos cada derivada de
e
conforme a regra da transformada de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos fatorar
e
em ambos os lados:
Nosso próximo passo é isolar
para encontrar a função de transferência.
Passo 6
Dividindo ambos os lados da equação por
, temos:
Essa fração representa a função de transferência do sistema.
Resposta
A função de transferência do sistema é:
Exercícios relacionados
Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada
.
A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo
.