A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função de transferência de um sistema em malha fechada. A função é:
O objetivo é descobrir quantos polos (as raízes do denominador) estão no semiplano direito, esquerdo e sobre o eixo . Para isso, vamos usar um método chamado Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a contar quantos polos têm parte real positiva, negativa ou são imaginários puros.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no denominador da função de transferência, que é o polinômio característico:
Esse polinômio é de quinto grau, então teremos cinco raízes (polos) no total. Nosso objetivo é determinar quantas dessas raízes estão em cada parte do plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos montar a Tabela de Routh para esse polinômio. A Tabela de Routh nos ajuda a identificar o número de raízes com partes reais positivas (ou seja, no semiplano direito).
Primeiro, listamos os coeficientes do polinômio:
  • Linha 1: Coeficientes de : 1, 3, 2
  • Linha 2: Coeficientes de : -2, -6, -4
Agora, vamos preencher a tabela:
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3
5 1 3 2
4 -2 -6 -4
3
2 B
1
0
Percebemos que temos zeros na linha , o que indica a possibilidade de raízes imaginárias puras.

Passo 4

Quando encontramos zeros na Tabela de Routh, precisamos utilizar uma técnica chamada “Pequena Perturbação”. Vamos adicionar um pequeno valor na primeira coluna da linha com zeros:
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3
5 1 3 2
4 -2 -6 -4
3 0 0
2
1
0 -4

Passo 5

Agora, vamos verificar as mudanças de sinal na primeira coluna da Tabela de Routh:
  • Linha para : de 1 para -2 → 1 mudança de sinal
  • Linha para : de -2 para (assumindo ) → 1 mudança de sinal
  • Linha para : de para 6 → sem mudança de sinal
  • Linha para : de 6 para -1 → 1 mudança de sinal
  • Linha para : de -1 para -4 → sem mudança de sinal
Total de mudanças de sinal: 3

Resposta

A função de transferência possui 3 polos no semiplano da direita, 2 polos no semiplano da esquerda e 0 polos sobre o eixo .

Exercícios relacionados

Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada .
Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.
Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Considere neste caso . uma constante qualquer. Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando . Instante/tempo de pico , o tempo de subida e o tempo de assentamento .