A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função de transferência de um sistema em malha fechada. A função é:
O objetivo é descobrir quantos polos (as raízes do denominador) estão no semiplano direito, esquerdo e sobre o eixo
. Para isso, vamos usar um método chamado Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a contar quantos polos têm parte real positiva, negativa ou são imaginários puros.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no denominador da função de transferência, que é o polinômio característico:
Esse polinômio é de quinto grau, então teremos cinco raízes (polos) no total. Nosso objetivo é determinar quantas dessas raízes estão em cada parte do plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos montar a Tabela de Routh para esse polinômio. A Tabela de Routh nos ajuda a identificar o número de raízes com partes reais positivas (ou seja, no semiplano direito).
Primeiro, listamos os coeficientes do polinômio:
- Linha 1: Coeficientes de
: 1, 3, 2 - Linha 2: Coeficientes de
: -2, -6, -4
Agora, vamos preencher a tabela:
|
Coluna 1 | Coluna 2 | Coluna 3 |
---|---|---|---|
5 | 1 | 3 | 2 |
4 | -2 | -6 | -4 |
3 |
|
|
|
2 | B | ||
1 | |||
0 |
Percebemos que temos zeros na linha
, o que indica a possibilidade de raízes imaginárias puras.
Passo 4
Quando encontramos zeros na Tabela de Routh, precisamos utilizar uma técnica chamada “Pequena Perturbação”. Vamos adicionar um pequeno valor
na primeira coluna da linha com zeros:
|
Coluna 1 | Coluna 2 | Coluna 3 |
---|---|---|---|
5 | 1 | 3 | 2 |
4 | -2 | -6 | -4 |
3 |
|
0 | 0 |
2 |
|
||
1 |
|
||
0 | -4 |
Passo 5
Agora, vamos verificar as mudanças de sinal na primeira coluna da Tabela de Routh:
- Linha
para : de 1 para -2 → 1 mudança de sinal - Linha
para : de -2 para (assumindo ) → 1 mudança de sinal - Linha
para : de para 6 → sem mudança de sinal - Linha
para : de 6 para -1 → 1 mudança de sinal - Linha
para : de -1 para -4 → sem mudança de sinal
Total de mudanças de sinal: 3
Resposta
A função de transferência possui 3 polos no semiplano da direita, 2 polos no semiplano da esquerda e 0 polos sobre o eixo
.
Exercícios relacionados
Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada
.
Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de
que mantém o sistema estável e instável.
Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Considere neste caso
.
uma constante qualquer. Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando
. Instante/tempo de pico
, o tempo de subida
e o tempo de assentamento
.