Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se
e
.
Passo 1
Beleza! A gente tem essa equação diferencial aqui:
com as condições iniciais
e
. A gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada e como aplicar nas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
e
. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial em uma equação algébrica em termos de
.
Passo 3
Vamos transformar cada termo da equação:
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação original:
Passo 5
Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais
,
, e considerar que
(já que
é a função degrau de Heaviside que é zero para
):
Simplificando:
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Sabemos que
, então sua transformada é
. Substituindo na equação:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 8
Vamos decompor a fração
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo a equação 3:
Substituindo
na equação 1:
E na equação 2:
Então, a decomposição fica:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
.
Primeiro,
corresponde a
.
Segundo, para
, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos a fração:
Aplicando a Transformada Inversa:
-
corresponde a -
corresponde a
Resposta
Assim, a solução da equação diferencial é: