Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se e .

Passo 1

Beleza! A gente tem essa equação diferencial aqui:
com as condições iniciais e . A gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada e como aplicar nas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que e . A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial em uma equação algébrica em termos de .

Passo 3

Vamos transformar cada termo da equação:

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação original:

Passo 5

Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais , , e considerar que (já que é a função degrau de Heaviside que é zero para ):
Simplificando:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Sabemos que , então sua transformada é . Substituindo na equação:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 8

Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
Resolvendo a equação 3:
Substituindo na equação 1:
E na equação 2:
Então, a decomposição fica:

Passo 9

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .
Primeiro, corresponde a .
Segundo, para , completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos a fração:
Aplicando a Transformada Inversa:
  • corresponde a
  • corresponde a

Resposta

Assim, a solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.
Determine a resposta ao degrau unitário para a seguinte função de transferência,
Além disse, o que acontece com a reposta em regime permanente quando . Determine a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de assentamento.
Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada .