Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
(D^2+6 D+25) y(t)=(D+2) x(t)
se y(0^-)=doty(0^-)=1 e x(t)=25 u(t).

Passo 1

Beleza! A gente tem essa equação diferencial aqui:
(D^2+6 D+25) y(t)=(D+2) x(t)
com as condições iniciais e . A gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada e como aplicar nas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que e . A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial em uma equação algébrica em termos de .

Passo 3

Vamos transformar cada termo da equação:

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação original:
[s^2 Y(s) - s y(0^-) - doty(0^-)] + 6 [s Y(s) - y(0^-)] + 25 Y(s) = [s X(s) - x(0^-)] + 2 X(s)

Passo 5

Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais [s^2 Y(s) - s cdot 1 - 1] + 6 [s Y(s) - 1] + 25 Y(s) = [s X(s) - 0] + 2 X(s) , (s^2 + 6s + 25) Y(s) - s - 1 - 6 = (s + 2) X(s) , e considerar que (s^2 + 6s + 25) Y(s) = (s + 2) X(s) + s + 7 (já que é a função degrau de Heaviside que é zero para ):
Simplificando:

Passo 6

Isolando Y(s) = (s + 2) X(s) + s + 7s^2 + 6s + 25 :

Passo 7

Sabemos que Y(s) = (s + 2) cdot 25s + s + 7s^2 + 6s + 25 = 25(s + 2) + s(s) + 7ss(s^2 + 6s + 25) , então sua transformada é 25s + 50 + s^2 + 7s = s^2 + 32s + 50 . Substituindo na equação:
Y(s) = s^2 + 32s + 50s(s^2 + 6s + 25)
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 8

Vamos decompor a fração s^2 + 32s + 50s(s^2 + 6s + 25) = As + Bs + Cs^2 + 6s + 25 em frações parciais:
s^2 + 32s + 50 = A(s^2 + 6s + 25) + (Bs + C)s
Multiplicando ambos os lados por s^2 + 32s + 50 = A s^2 + 6A s + 25A + Bs^2 + Cs :
s^2 + 32s + 50 = (A + B)s^2 + (6A + C)s + 25A
Expandindo:
25A = 50 Rightarrow A = 2
Agrupando termos semelhantes:
1 = 2 + B Rightarrow B = -1
Agora, igualamos os coeficientes:
  1. Coeficiente de 32 = 6 cdot 2 + C Rightarrow C = 20 : Y(s) = 2s + -s + 20s^2 + 6s + 25
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
Resolvendo a equação 3:
Substituindo na equação 1:
E na equação 2:
Então, a decomposição fica:

Passo 9

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar s^2 + 6s + 25 = (s + 3)^2 + 16 .
Primeiro, -(s + 3) + 23(s + 3)^2 + 16 = -s + 3(s + 3)^2 + 16 + 23(s + 3)^2 + 16 corresponde a .
Segundo, para , completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos a fração:
Aplicando a Transformada Inversa:
  • corresponde a
  • corresponde a

Resposta

Assim, a solução da equação diferencial é:
y(t) = 2 + e^-3t ( -cos(4t) + 234 sin(4t) )

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