Para um sistema com função de transferência,
Determine a resposta (estado nulo) para entrada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a resposta de estado nulo de um sistema com a função de transferência quando a entrada é . Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e análise de sistemas lineares. Vamos precisar usar a transformada de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resposta de estado nulo é a saída do sistema quando as condições iniciais são zero. Para encontrar isso, aplicamos a transformada de Laplace na entrada e multiplicamos pela função de transferência .
A transformada de Laplace da entrada é:

Passo 3

Agora, multiplicamos pela função de transferência para obter a transformada de Laplace da saída :

Passo 4

Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Laplace em . Vamos simplificar a expressão de :
Primeiro, dividimos o numerador:
Então:
Podemos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 5

Vamos assumir que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
De , então .
De , substituindo , temos , então .

Passo 6

Agora, substituímos os valores de , e na expressão de :
Para facilitar a inversão, completamos o quadrado no denominador do segundo termo:

Passo 7

Então, reescrevemos como:
Isso pode ser separado em:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Para :
Para :
Para :

Resposta

Assim, a resposta de estado nulo do sistema para a entrada é:

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas descritos pelas equações diferenciais a seguir, determine a função de transferência do sistema.
Usando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
se e .
A função de transferência em malha fechada de um sistema é,
diga quantos polos da função de transferência estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo .
Dado o sistema com realimentação unitária com,
determine a faixa de que mantém o sistema estável e instável.