Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a resposta de estado nulo de um sistema com a função de transferência quando a entrada é . Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e análise de sistemas lineares. Vamos precisar usar a transformada de Laplace para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resposta de estado nulo é a saída do sistema quando as condições iniciais são zero. Para encontrar isso, aplicamos a transformada de Laplace na entrada e multiplicamos pela função de transferência .
A transformada de Laplace da entrada é:
Passo 3
Agora, multiplicamos pela função de transferência para obter a transformada de Laplace da saída :
Passo 4
Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Laplace em . Vamos simplificar a expressão de :
Primeiro, dividimos o numerador:
Então:
Podemos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 5
Vamos assumir que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
De , então .
De , substituindo , temos , então .
Passo 6
Agora, substituímos os valores de , e na expressão de :
Para facilitar a inversão, completamos o quadrado no denominador do segundo termo:
Passo 7
Então, reescrevemos como:
Isso pode ser separado em:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Para :
Para :
Para :
Resposta
Assim, a resposta de estado nulo do sistema para a entrada é: