Para um sistema com função de transferência,
H(s)=2 s+3s^2+2 s+5
Determine a resposta (estado nulo) para entrada x(t)=10 u(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a resposta de estado nulo de um sistema com a função de transferência quando a entrada é . Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e análise de sistemas lineares. Vamos precisar usar a transformada de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resposta de estado nulo é a saída do sistema quando as condições iniciais são zero. Para encontrar isso, aplicamos a transformada de Laplace na entrada X(s) = 10s e multiplicamos pela função de transferência .
A transformada de Laplace da entrada é:

Passo 3

Agora, multiplicamos Y(s) = H(s) cdot X(s) = 2s + 3s^2 + 2s + 5 cdot 10s = 10(2s + 3)s(s^2 + 2s + 5) pela função de transferência para obter a transformada de Laplace da saída :

Passo 4

Para encontrar 10(2s + 3) = 20s + 30 , aplicamos a transformada inversa de Laplace em Y(s) = 20s + 30s(s^2 + 2s + 5) . Vamos simplificar a expressão de :
Primeiro, dividimos o numerador:
Então:
Podemos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 5

Vamos assumir que:
20s + 30s(s^2 + 2s + 5) = As + Bs + Cs^2 + 2s + 5
Multiplicando ambos os lados por 20s + 30 = A(s^2 + 2s + 5) + (Bs + C)s :
20s + 30 = A s^2 + 2A s + 5A + Bs^2 + Cs
Expandindo:
(A + B)s^2 + (2A + C)s + 5A = 20s + 30
Agrupando termos semelhantes:
A + B = 0 2A + C = 20 5A = 30
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
De , então .
De , substituindo , temos , então .

Passo 6

Agora, substituímos os valores de Y(s) = 6s + -6s + 8s^2 + 2s + 5 , s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4 e na expressão de :
Para facilitar a inversão, completamos o quadrado no denominador do segundo termo:

Passo 7

Então, reescrevemos Y(s) = 6s - 6(s + 1) - 6 + 8(s + 1)^2 + 4 como:
Y(s) = 6s - 6(s + 1) + 2(s + 1)^2 + 4
Y(s) = 6s - 6(s + 1)(s + 1)^2 + 4 - 2(s + 1)^2 + 4
Isso pode ser separado em:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Para L^-16s = 6 cdot u(t) :
L^-16(s + 1)(s + 1)^2 + 4 = 6 e^-t cos(2t)
Para L^-12(s + 1)^2 + 4 = e^-t sin(2t) :
Para :

Resposta

Assim, a resposta de estado nulo do sistema para a entrada y(t) = 6,u(t) - 6 e^-t cos(2t) - e^-t sin(2t) é:

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