Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(a) x+2 y-z & =0 2 x+3 y+z & =5 x+y+2 z & =4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para a gente encontrar algumas matrizes, escalonar a matriz aumentada, identificar variáveis livres e dependentes, classificar o sistema e, se possível, resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra linear, principalmente sobre matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes x + 2 y - z &= 0 2 x + 3 y + z &= 5 x + y + 2 z &= 4 , A = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 1 & 1 & 2 e a matriz aumentada b = 0 5 4 a partir do sistema dado:
[A mid b] = 1 & 2 & -1 & vert & 0 2 & 3 & 1 & vert & 5 1 & 1 & 2 & vert & 4
  • Matriz é a matriz dos coeficientes das variáveis:
  • Vetor é o vetor dos termos constantes:
  • Matriz aumentada combina e :

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada 1 & 2 & -1 & vert & 0 2 & 3 & 1 & vert & 5 1 & 1 & 2 & vert & 4 usando o método de eliminação de Gauss. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente identificar as soluções.
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow [2-2cdot1, 3-2cdot2, 1-2cdot(-1), 5-2cdot0] = [0, -1, 3, 5]
  • Etapa 1: Usar a primeira linha para eliminar o R3 = R3 - R1 Rightarrow [1-1, 1-2, 2-(-1), 4-0] = [0, -1, 3, 4] das linhas 2 e 3.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
1 & 2 & -1 & vert & 0 0 & -1 & 3 & vert & 5 0 & -1 & 3 & vert & 4
Subtraindo a primeira linha da terceira:
R3 = R3 - R2 Rightarrow [0-0, -1-(-1), 3-3, 4-5] = [0, 0, 0, -1]
Matriz após a primeira etapa:
1 & 2 & -1 & vert & 0 0 & -1 & 3 & vert & 5 0 & 0 & 0 & vert & -1
  • Etapa 2: Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha.
Subtraindo a segunda linha da terceira:
Matriz após a segunda etapa:

Passo 4

Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Observando a matriz escalonada:
1 & 2 & -1 & vert & 0 0 & -1 & 3 & vert & 5 0 & 0 & 0 & vert & -1
A terceira linha nos dá , o que é uma contradição, já que não existe nenhum que satisfaça essa equação. Isso significa que o sistema não tem solução.

Passo 5

Classificando o sistema: Como chegamos a uma contradição (0 = -1), o sistema é inconsistente e, portanto, não possui solução.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução.

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