Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para a gente encontrar algumas matrizes, escalonar a matriz aumentada, identificar variáveis livres e dependentes, classificar o sistema e, se possível, resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra linear, principalmente sobre matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes , e a matriz aumentada a partir do sistema dado:
Matriz é a matriz dos coeficientes das variáveis:
Vetor é o vetor dos termos constantes:
Matriz aumentada combina e :
Passo 3
Agora, vamos escalonar a matriz aumentada usando o método de eliminação de Gauss. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente identificar as soluções.
Etapa 1: Usar a primeira linha para eliminar o das linhas 2 e 3.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
Subtraindo a primeira linha da terceira:
Matriz após a primeira etapa:
Etapa 2: Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha.
Subtraindo a segunda linha da terceira:
Matriz após a segunda etapa:
Passo 4
Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Observando a matriz escalonada:
A terceira linha nos dá , o que é uma contradição, já que não existe nenhum que satisfaça essa equação. Isso significa que o sistema não tem solução.
Passo 5
Classificando o sistema: Como chegamos a uma contradição (0 = -1), o sistema é inconsistente e, portanto, não possui solução.