Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo formado entre os vetores em cada caso a seguir.
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar dos vetores e e descobrir o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar e a relação que liga ele com o cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar . A fórmula para o produto escalar de dois vetores e é:
Então, substituindo os valores:

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre os vetores, usamos a relação que liga o produto escalar com o cosseno do ângulo:
Onde e são os módulos (ou normas) dos vetores e . Vamos calcular esses módulos.

Passo 4

O módulo de um vetor é dado por:
Calculando para :
E para :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula que liga o produto escalar ao cosseno do ângulo:
Para encontrar , isolamos ele na equação:

Passo 6

Vamos calcular o valor de :
Primeiro, multiplicamos os módulos:
Então,

Passo 7

Para encontrar o ângulo , usamos a função inversa do cosseno:

Resposta

O produto escalar é e o ângulo formado entre os vetores e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores e , calcular:
Sejam e as transformações lineares dadas a seguir, determine se e e verifique se os resultados são iguais.
(a) é a projeção ortogonal no eixo e é a projeção ortogonal no eixo .
Utilizando um método apropriado, resolva o seguinte problema de valor inicial, verificando após a resolução se a solução satisfaz à EDO e à condição inicial:
Resp:
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(a)