Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo theta formado entre os vetores u e v em cada caso a seguir.
a) u=(2,3) e v=(5,-7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar dos vetores u = (2, 3) e v = (5, -7) e descobrir o ângulo theta entre eles. Para isso, vamos usar álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar e a relação que liga ele com o cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v. A fórmula para o produto escalar de dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é:
u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2
Então, substituindo os valores:
u cdot v = 2 times 5 + 3 times (-7) = 10 - 21 = -11

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo theta entre os vetores, usamos a relação que liga o produto escalar com o cosseno do ângulo:
u cdot v = |u| times |v| times cos(theta)
Onde |u| e |v| são os módulos (ou normas) dos vetores u e v. Vamos calcular esses módulos.

Passo 4

O módulo de um vetor u = (u1, u2) é dado por:
|u| = raizu1^2 + u2^2
Calculando para u:
|u| = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13
E para v:
|v| = raiz5^2 + (-7)^2 = raiz25 + 49 = raiz74

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula que liga o produto escalar ao cosseno do ângulo:
-11 = raiz13 times raiz74 times cos(theta)
Para encontrar cos(theta), isolamos ele na equação:
cos(theta) = -11raiz13 times raiz74

Passo 6

Vamos calcular o valor de cos(theta):
Primeiro, multiplicamos os módulos:
raiz13 times raiz74 = raiz13 times 74 = raiz962 approx 31.00
Então,
cos(theta) = -1131.00 approx -0.3548

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função inversa do cosseno:
theta = cos^-1(-0.3548) approx 110^circ

Resposta

O produto escalar u cdot v é -11 e o ângulo formado entre os vetores u e v é aproximadamente 110^circ.

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