Calcule o produto escalar u.v e encontre o ângulo
formado entre os vetores
em cada caso a seguir.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o produto escalar dos vetores
e
e descobrir o ângulo
entre eles. Para isso, vamos usar álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar e a relação que liga ele com o cosseno do ângulo entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
. A fórmula para o produto escalar de dois vetores
e
é:
Então, substituindo os valores:
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo
entre os vetores, usamos a relação que liga o produto escalar com o cosseno do ângulo:
Onde
e
são os módulos (ou normas) dos vetores
e
. Vamos calcular esses módulos.
Passo 4
O módulo de um vetor
é dado por:
Calculando para
:
E para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula que liga o produto escalar ao cosseno do ângulo:
Para encontrar
, isolamos ele na equação:
Passo 6
Vamos calcular o valor de
:
Primeiro, multiplicamos os módulos:
Então,
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, usamos a função inversa do cosseno:
Resposta
O produto escalar
é
e o ângulo formado entre os vetores
e
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Consideremos o seguinte produto interno em
, sendo
e
. Dados os vetores
e
, calcular:
Sejam
e
as transformações lineares dadas a seguir, determine se
e
e verifique se os resultados são iguais.
(a) é a projeção ortogonal no eixo
e
é a projeção ortogonal no eixo
.
(a)
Utilizando um método apropriado, resolva o seguinte problema de valor inicial, verificando após a resolução se a solução satisfaz à EDO e à condição inicial:
Resp:
Resp:
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes
,
e
, (ii) escalone a matriz
, (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(a)
(a)