Utilizando um método apropriado, resolva o seguinte problema de valor inicial, verificando após a resolução se a solução satisfaz à EDO e à condição inicial: d yd t+k y=e^2 k t ; y(0)=13 k
Resp: y(t)=e^2 k t3 k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é:
d yd t + k y = e^2 k t
E a condição inicial é:
y(0) = 13 k
Para resolver isso, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
d yd t + P(t) y = Q(t)
Aqui, mu(t) = e^integral P(t) dt e .
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante mu(t) = e^integral k dt = e^k t:
e^k t d yd t + e^k t cdot k y = e^k t cdot e^2 k t
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original por esse fator:
e^k t cdot e^2 k t = e^3 k t
Simplificando o lado direito:

Passo 4

A equação fica então:
e^k t d yd t + k e^k t y = e^3 k t
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto dd t ( e^k t y ) = e^3 k t. Ou seja:

Passo 5

Agora, para encontrar integral dd t ( e^k t y ) dt = integral e^3 k t dt, integramos ambos os lados em relação a e^k t y = 13 k e^3 k t + C:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora isolamos y = 13 k e^2 k t + C e^-k t:

Passo 7

Usamos a condição inicial 13 k = 13 k e^0 + C e^0 para encontrar 13 k = 13 k + C:
Substituindo :
Simplificando:
Então, .

Resposta

Finalmente, a solução da equação diferencial é:
y(t) = e^2 k t3 k

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