Utilizando um método apropriado, resolva o seguinte problema de valor inicial, verificando após a resolução se a solução satisfaz à EDO e à condição inicial:
Resp:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede pra resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é:
Para resolver isso, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Aqui,
e
.
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante
:
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original por esse fator:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
A equação fica então:
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora isolamos
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
:
Simplificando:
Então,
.
Resposta
Finalmente, a solução da equação diferencial é: