Determine a equação da hipérbole que tem focos
e
e exentricidade
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma hipérbole que tem focos em
e
e uma excentricidade de
. Vamos precisar saber sobre hipérboles, focos, excentricidade e a forma geral da equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde estão os focos. Os pontos
e
estão alinhados no eixo horizontal, já que têm a mesma coordenada y. Isso significa que a hipérbole tem eixo transversal horizontal.
Passo 3
O centro da hipérbole fica no ponto médio entre os focos. Para encontrar o ponto médio entre
e
, calculamos:
Então, o centro é
.
Passo 4
A distância entre os dois focos é
, onde
é a distância do centro a cada foco. Calculando:
Passo 5
A excentricidade (
) da hipérbole é dada pela razão entre
e
, onde
é a distância do centro aos vértices. A excentricidade fornecida é:
Então, temos:
Passo 6
Sabemos que, para hipérboles, a relação entre
,
e
é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Agora, temos todos os valores necessários:
,
, e o centro
. A equação padrão da hipérbole com eixo transversal horizontal é:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 8
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador:
Ou, deixando a equação de forma mais simples:
Resposta
A equação da hipérbole é: