Determine a equação da hipérbole que tem focos e e exentricidade .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma hipérbole que tem focos em e e uma excentricidade de . Vamos precisar saber sobre hipérboles, focos, excentricidade e a forma geral da equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde estão os focos. Os pontos e estão alinhados no eixo horizontal, já que têm a mesma coordenada y. Isso significa que a hipérbole tem eixo transversal horizontal.

Passo 3

O centro da hipérbole fica no ponto médio entre os focos. Para encontrar o ponto médio entre e , calculamos:
Então, o centro é .

Passo 4

A distância entre os dois focos é , onde é a distância do centro a cada foco. Calculando:

Passo 5

A excentricidade ( ) da hipérbole é dada pela razão entre e , onde é a distância do centro aos vértices. A excentricidade fornecida é:
Então, temos:

Passo 6

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre , e é:
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Agora, temos todos os valores necessários: , , e o centro . A equação padrão da hipérbole com eixo transversal horizontal é:
Substituindo , , e :

Passo 8

Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador:
Ou, deixando a equação de forma mais simples:

Resposta

A equação da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(a)
Utilizando um método apropriado, resolva o seguinte problema de valor inicial, verificando após a resolução se a solução satisfaz à EDO e à condição inicial:
Resp:
[C,24] Mostre que no corpo dos números reais valem: © .
Seja R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de $$, i.e., para .