Determine a equação da hipérbole que tem focos (2,1) e (4,1) e exentricidade 22raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma hipérbole que tem focos em (2,1) e (4,1) e uma excentricidade de 22raiz3. Vamos precisar saber sobre hipérboles, focos, excentricidade e a forma geral da equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde estão os focos. Os pontos (2,1) e (4,1) estão alinhados no eixo horizontal, já que têm a mesma coordenada y. Isso significa que a hipérbole tem eixo transversal horizontal.

Passo 3

O centro da hipérbole fica no ponto médio entre os focos. Para encontrar o ponto médio entre (2,1) e (4,1), calculamos:
( 2+42, 1+12 ) = (3,1)
Então, o centro é (3,1).

Passo 4

A distância entre os dois focos é 2c, onde c é a distância do centro a cada foco. Calculando:
2c = 4 - 2 = 2 implies c = 1

Passo 5

A excentricidade ( e) da hipérbole é dada pela razão entre c e a, onde a é a distância do centro aos vértices. A excentricidade fornecida é:
e = 22raiz3 = raiz3
Então, temos:
e = ca implies raiz3 = 1a implies a = 1raiz3

Passo 6

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores de c e a:
1^2 = ( 1raiz3 )^2 + b^2 implies 1 = 13 + b^2 implies b^2 = 1 - 13 = 23

Passo 7

Agora, temos todos os valores necessários: a = 1raiz3, b = raiz23, e o centro (3,1). A equação padrão da hipérbole com eixo transversal horizontal é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo h = 3, k = 1, a^2 = 13 e b^2 = 23:
(x - 3)^213 - (y - 1)^223 = 1

Passo 8

Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador:
3(x - 3)^2 - 32(y - 1)^2 = 1
Ou, deixando a equação de forma mais simples:
(x - 3)^213 - (y - 1)^223 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x - 3)^213 - (y - 1)^223 = 1

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