Determine a equação da hipérbole que tem focos e e exentricidade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma hipérbole que tem focos em e e uma excentricidade de . Vamos precisar saber sobre hipérboles, focos, excentricidade e a forma geral da equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde estão os focos. Os pontos e estão alinhados no eixo horizontal, já que têm a mesma coordenada y. Isso significa que a hipérbole tem eixo transversal horizontal.
Passo 3
O centro da hipérbole fica no ponto médio entre os focos. Para encontrar o ponto médio entre e , calculamos:
Então, o centro é .
Passo 4
A distância entre os dois focos é , onde é a distância do centro a cada foco. Calculando:
Passo 5
A excentricidade () da hipérbole é dada pela razão entre e , onde é a distância do centro aos vértices. A excentricidade fornecida é:
Então, temos:
Passo 6
Sabemos que, para hipérboles, a relação entre , e é:
Substituindo os valores de e :
Passo 7
Agora, temos todos os valores necessários: , , e o centro . A equação padrão da hipérbole com eixo transversal horizontal é:
Substituindo , , e :
Passo 8
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador: