Dadas as equações das parábolas:
2.2) y^2-2 x y+x^2+16 x+16 y=0
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
diretiz: y=-x+4; eixo focal: y=x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola:
y^2 - 2xy + x^2 + 16x + 16y = 0
Queremos encontrar as equações da diretriz e do eixo focal dessa parábola. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação e identificar as características principais da parábola.

Passo 2

Observando a equação dada, notamos que há um termo cruzado . Isso indica que a parábola está inclinada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos rotacionar o sistema de coordenadas de forma que o termo desapareça. Isso facilitará a identificação da diretriz e do eixo focal.

Passo 3

A rotação das coordenadas é feita para eliminar o termo x = x'costheta - y'sintheta . A fórmula geral para rotacionar o sistema em um ângulo y = x'sintheta + y'costheta é:
Nosso objetivo é escolher de modo que o novo termo na equação transformada seja zero.

Passo 4

Para eliminar o termo tan(2theta) = CA - B , usamos a condição:
tan(2theta) = -21 - 1 = -20
Onde na equação geral 2theta = pi2 implies theta = pi4 ou 45° , temos , , . Substituindo:
Como a tangente tende ao infinito, isso significa que:

Passo 5

Agora, aplicamos a rotação de x = x' - y'raiz2 nas coordenadas:
y = x' + y'raiz2
(x' + y'raiz2)^2 - 2(x' - y'raiz2)(x' + y'raiz2) + (x' - y'raiz2)^2 + 16(x' - y'raiz2) + 16(x' + y'raiz2) = 0
Substituindo na equação original da parábola:

Passo 6

Simplificando os termos:
(x' + y')^22 - 2 cdot (x'^2 - y'^2)2 + (x' - y')^22 + 16(x' - y')raiz2 + 16(x' + y')raiz2 = 0
Expandindo:
x'^2 + 2x'y' + y'^22 - (x'^2 - y'^2) + x'^2 - 2x'y' + y'^22 + 16x' -16 y'raiz2 + 16x' +16 y'raiz2 = 0
Simplificando ainda mais:
2y'^2 + 16raiz2x' = 0

Passo 7

Reorganizando a equação:
2y'^2 = -16raiz2x'
y'^2 = -8raiz2x'

Passo 8

A equação resultante:
y'^2 = -8raiz2x'
é a forma canônica de uma parábola que abre para a esquerda. Comparando com a forma padrão 4p = -8raiz2 implies p = -2raiz2 , identificamos:
Aqui, representa a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 9

Sabendo que :
  • Eixo focal: É a reta que passa pelo foco e é paralela à diretriz. No sistema rotacionado, é o eixo , que no sistema original está inclinado em , ou seja, .
  • Diretriz: Está a uma distância do vértice, na direção oposta ao foco. No sistema original, como a parábola abre para a esquerda, a diretriz fica à direita do vértice, na reta .
Calculando , encontramos que a equação da diretriz é .

Passo 10

Portanto, as equações da diretriz e do eixo focal da parábola são:
  • Diretiz:
  • Eixo focal:

Resposta

As equações da diretriz e do eixo focal são, respectivamente:
Diretiz: y = -x +4
Eixo focal: y =x

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