Dadas as equações das parábolas:
2.2)
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
diretiz: ; eixo focal:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola:
Queremos encontrar as equações da diretriz e do eixo focal dessa parábola. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação e identificar as características principais da parábola.

Passo 2

Observando a equação dada, notamos que há um termo cruzado . Isso indica que a parábola está inclinada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos rotacionar o sistema de coordenadas de forma que o termo desapareça. Isso facilitará a identificação da diretriz e do eixo focal.

Passo 3

A rotação das coordenadas é feita para eliminar o termo . A fórmula geral para rotacionar o sistema em um ângulo é:
Nosso objetivo é escolher de modo que o novo termo na equação transformada seja zero.

Passo 4

Para eliminar o termo , usamos a condição:
Onde na equação geral , temos , , . Substituindo:
Como a tangente tende ao infinito, isso significa que:

Passo 5

Agora, aplicamos a rotação de nas coordenadas:
Substituindo na equação original da parábola:

Passo 6

Simplificando os termos:
Expandindo:
Simplificando ainda mais:

Passo 7

Reorganizando a equação:

Passo 8

A equação resultante:
é a forma canônica de uma parábola que abre para a esquerda. Comparando com a forma padrão , identificamos:
Aqui, representa a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 9

Sabendo que :
  • Eixo focal: É a reta que passa pelo foco e é paralela à diretriz. No sistema rotacionado, é o eixo , que no sistema original está inclinado em , ou seja, .
  • Diretriz: Está a uma distância do vértice, na direção oposta ao foco. No sistema original, como a parábola abre para a esquerda, a diretriz fica à direita do vértice, na reta .
Calculando , encontramos que a equação da diretriz é .

Passo 10

Portanto, as equações da diretriz e do eixo focal da parábola são:
  • Diretiz:
  • Eixo focal:

Resposta

As equações da diretriz e do eixo focal são, respectivamente:

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©
Em cada alternativa a seguir, marque para verdadeiro ou para falso: Se e são matrizes simétricas, então ;
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(d)
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(j)