Dadas as equações das parábolas:
2.2)
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
diretiz: ; eixo focal:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola:
Queremos encontrar as equações da diretriz e do eixo focal dessa parábola. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação e identificar as características principais da parábola.
Passo 2
Observando a equação dada, notamos que há um termo cruzado . Isso indica que a parábola está inclinada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos rotacionar o sistema de coordenadas de forma que o termo desapareça. Isso facilitará a identificação da diretriz e do eixo focal.
Passo 3
A rotação das coordenadas é feita para eliminar o termo . A fórmula geral para rotacionar o sistema em um ângulo é:
Nosso objetivo é escolher de modo que o novo termo na equação transformada seja zero.
Passo 4
Para eliminar o termo , usamos a condição:
Onde na equação geral , temos , , . Substituindo:
Como a tangente tende ao infinito, isso significa que:
Passo 5
Agora, aplicamos a rotação de nas coordenadas:
Substituindo na equação original da parábola:
Passo 6
Simplificando os termos:
Expandindo:
Simplificando ainda mais:
Passo 7
Reorganizando a equação:
Passo 8
A equação resultante:
é a forma canônica de uma parábola que abre para a esquerda. Comparando com a forma padrão , identificamos:
Aqui, representa a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Passo 9
Sabendo que :
Eixo focal: É a reta que passa pelo foco e é paralela à diretriz. No sistema rotacionado, é o eixo , que no sistema original está inclinado em , ou seja, .
Diretriz: Está a uma distância do vértice, na direção oposta ao foco. No sistema original, como a parábola abre para a esquerda, a diretriz fica à direita do vértice, na reta .
Calculando , encontramos que a equação da diretriz é .
Passo 10
Portanto, as equações da diretriz e do eixo focal da parábola são:
Diretiz:
Eixo focal:
Resposta
As equações da diretriz e do eixo focal são, respectivamente: