Para cada um dos sistemas lineares:
(I) x-y+2 z-w & =-1 2 x+y-2 z-2 w & =-2 -x+2 y-4 z+w & =1 3 x-3 w & =-3
(a) Identifique:
(i) a matriz A dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz X das incógnitas;
(iii) a matriz B dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada [A mid B]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas lineares! A gente tem um sistema com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . O que precisamos fazer aqui é identificar algumas matrizes importantes que representam esse sistema: a matriz dos coeficientes ( ), a matriz das incógnitas ( ), a matriz dos termos independentes ( ) e a matriz ampliada . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a matriz dos coeficientes ( x - y + 2z - w = -1 2x + y - 2z - 2w = -2 - x + 2y - 4z + w = 1 3x - 3w = -3 ). Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações do sistema. Ou seja, são os números que multiplicam o A = 1 & -1 & 2 & -1 2 & 1 & -2 & -2 -1 & 2 & -4 & 1 3 & 0 & 0 & -3 , o , o e o .
Olha só as equações:
Então, a matriz vai ficar assim:

Passo 3

Agora, vamos identificar a matriz das incógnitas ( X = x y z w ). Essa matriz é bem simples, ela só reúne todas as incógnitas do sistema. No nosso caso, temos quatro incógnitas: , , e . Então, a matriz é:

Passo 4

Em seguida, vamos para a matriz dos termos independentes ( x - y + 2z - w = -1 2x + y - 2z - 2w = -2 - x + 2y - 4z + w = 1 3x - 3w = -3 ). Essa matriz contém os valores que estão do outro lado do sinal de igual nas equações, ou seja, os números que não têm as incógnitas.
Olha as equações de novo:
B = -1 -2 1 -3
Então, a matriz é:

Passo 5

Por último, vamos montar a matriz ampliada [A mid B] = 1 & -1 & 2 & -1 & mid & -1 2 & 1 & -2 & -2 & mid & -2 -1 & 2 & -4 & 1 & mid & 1 3 & 0 & 0 & -3 & mid & -3 . Essa matriz junta a matriz dos coeficientes com a matriz dos termos independentes , colocando à direita de . Isso facilita muito na hora de resolver o sistema, especialmente usando métodos como a eliminação de Gauss.
Então, a matriz ampliada fica assim:

Resposta

As matrizes identificadas são:
A = 1 & -1 & 2 & -1 2 & 1 & -2 & -2 -1 & 2 & -4 & 1 3 & 0 & 0 & -3 , X = x y z w , B = -1 -2 1 -3 , [A mid B] = 1 & -1 & 2 & -1 & mid & -1 2 & 1 & -2 & -2 & mid & -2 -1 & 2 & -4 & 1 & mid & 1 3 & 0 & 0 & -3 & mid & -3

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