Determine as equações paramétricas e simétrica da reta , que passa pelo ponto , e é paralela ao vetor dado:
(a) e ;
(b) e ;
© e ;
(d) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta que passa por um ponto e é paralela a um vetor . Isso envolve conceitos de geometria analítica, onde usamos vetores e coordenadas para descrever retas no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como montar essas equações usando as informações do ponto e do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as equações paramétricas e simétricas de uma reta:
  • Equações Paramétricas: Elas descrevem cada coordenada de um ponto na reta em função de um parâmetro, geralmente representado por . A forma geral é:
    Onde é um ponto na reta e são as componentes do vetor diretor da reta.
  • Equações Simétricas: Elas eliminam o parâmetro para relacionar diretamente as coordenadas , e . A forma geral é:
    Essa forma só é possível se os componentes do vetor diretor forem diferentes de zero.
Agora, vamos aplicar isso para cada parte do exercício.

Passo 3

Parte (a)

Dados:
  • Ponto
  • Vetor
Equações Paramétricas:
Ou seja:
Equações Simétricas:

Passo 4

Parte (b)

Dados:
  • Ponto
  • Vetor
Equações Paramétricas:
Ou seja:
Equações Simétricas:

Passo 5

Parte ©

Dados:
  • Ponto
  • Vetor
Equações Paramétricas:
Ou seja:
Equações Simétricas:
Como o componente , não podemos dividir por ele. Então, a equação simétrica fica:

Passo 6

Parte (d)

Dados:
  • Ponto
  • Vetor
Equações Paramétricas:
Ou seja:
Equações Simétricas:
Como o componente , não podemos dividir por ele. Então, a equação simétrica fica:

Resposta

As equações paramétricas e simétricas das retas são:
a)
b)
c)
d)

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares:
(I)
(a) Identifique:
(i) a matriz dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz das incógnitas;
(iii) a matriz dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada
Determine as equações paramétricas do plano :
(a) que passa pelo ponto e que seja paralelo aos vetores e ;
(b) que passa pela origem de e que seja paralelo aos vetores e .
Identifiar a cônica, achar a equação no ultima sistema de coordenadas utilizado:
(10 pontos)
Determinar a projeção ortogonal do vetor sob a reta .