Determine as equações paramétricas e simétrica da reta r, que passa pelo ponto P0, e é paralela ao vetor v dado:
(a) P0=(1,-1,1) e v=(1,-1,2);
(b) P0=(-3,1,1) e v=(-1,-1,2);
© P0=(0,1,-1) e v=(0,-1,2);
(d) P0=(-1,3,-1) e v=(2,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta r que passa por um ponto P0 e é paralela a um vetor v. Isso envolve conceitos de geometria analítica, onde usamos vetores e coordenadas para descrever retas no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como montar essas equações usando as informações do ponto e do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as equações paramétricas e simétricas de uma reta:
  • Equações Paramétricas: Elas descrevem cada coordenada de um ponto na reta em função de um parâmetro, geralmente representado por t. A forma geral é:
    x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
    Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor da reta.
  • Equações Simétricas: Elas eliminam o parâmetro t para relacionar diretamente as coordenadas x, y e z. A forma geral é:
    x - x0a = y - y0b = z - z0c
    Essa forma só é possível se os componentes do vetor diretor forem diferentes de zero.
Agora, vamos aplicar isso para cada parte do exercício.

Passo 3

Parte (a)

Dados:
  • Ponto P0=(1,-1,1)
  • Vetor v=(1,-1,2)
Equações Paramétricas:
x = 1 + 1 cdot t y = -1 + (-1) cdot t z = 1 + 2 cdot t
Ou seja:
x = 1 + t y = -1 - t z = 1 + 2t
Equações Simétricas:
x - 11 = y + 1-1 = z - 12

Passo 4

Parte (b)

Dados:
  • Ponto P0=(-3,1,1)
  • Vetor v=(-1,-1,2)
Equações Paramétricas:
x = -3 + (-1) cdot t y = 1 + (-1) cdot t z = 1 + 2 cdot t
Ou seja:
x = -3 - t y = 1 - t z = 1 + 2t
Equações Simétricas:
x + 3-1 = y - 1-1 = z - 12

Passo 5

Parte ©

Dados:
  • Ponto P0=(0,1,-1)
  • Vetor v=(0,-1,2)
Equações Paramétricas:
x = 0 + 0 cdot t y = 1 + (-1) cdot t z = -1 + 2 cdot t
Ou seja:
x = 0 y = 1 - t z = -1 + 2t
Equações Simétricas:
Como o componente a=0, não podemos dividir por ele. Então, a equação simétrica fica:
x = 0 e y - 1-1 = z + 12

Passo 6

Parte (d)

Dados:
  • Ponto P0=(-1,3,-1)
  • Vetor v=(2,0,-1)
Equações Paramétricas:
x = -1 + 2 cdot t y = 3 + 0 cdot t z = -1 + (-1) cdot t
Ou seja:
x = -1 + 2t y = 3 z = -1 - t
Equações Simétricas:
Como o componente b=0, não podemos dividir por ele. Então, a equação simétrica fica:
y = 3 e x + 12 = z + 1-1

Resposta

As equações paramétricas e simétricas das retas são:
a)
x = 1 + t y = -1 - t z = 1 + 2t
x - 11 = y + 1-1 = z - 12
b)
x = -3 - t y = 1 - t z = 1 + 2t
x + 3-1 = y - 1-1 = z - 12
c)
x = 0 y = 1 - t z = -1 + 2t
x = 0 e y - 1-1 = z + 12
d)
x = -1 + 2t y = 3 z = -1 - t
y = 3 e x + 12 = z + 1-1

Exercícios relacionados