Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta que passa por um ponto e é paralela a um vetor . Isso envolve conceitos de geometria analítica, onde usamos vetores e coordenadas para descrever retas no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como montar essas equações usando as informações do ponto e do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as equações paramétricas e simétricas de uma reta:
Equações Paramétricas: Elas descrevem cada coordenada de um ponto na reta em função de um parâmetro, geralmente representado por . A forma geral é:
Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor da reta.
Equações Simétricas: Elas eliminam o parâmetro t para relacionar diretamente as coordenadas x, y e z. A forma geral é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Essa forma só é possível se os componentes do vetor diretor forem diferentes de zero.
Agora, vamos aplicar isso para cada parte do exercício.
Passo 3
Parte (a)
Dados:
Ponto P0=(1,-1,1)
Vetor v=(1,-1,2)
Equações Paramétricas:
x = 1 + 1 cdot t y = -1 + (-1) cdot t z = 1 + 2 cdot t
Ou seja:
x = 1 + t y = -1 - t z = 1 + 2t
Equações Simétricas:
x - 11 = y + 1-1 = z - 12
Passo 4
Parte (b)
Dados:
Ponto P0=(-3,1,1)
Vetor v=(-1,-1,2)
Equações Paramétricas:
x = -3 + (-1) cdot t y = 1 + (-1) cdot t z = 1 + 2 cdot t