Determine a equação do plano Pi ortogonal a reta r:lx=t+1 y=0 z=1-t, t in R, e que contém o ponto P0=(0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de um plano que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) a uma reta dada e que passe por um ponto específico .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre:
  • Equação paramétrica de uma reta.
  • Vetores normais e como eles relacionam com a equação de um plano.
  • Equação geral de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta r: x = t + 1 y = 0 z = 1 - t , t in R que está na forma paramétrica:
Essa forma nos mostra como , e variam com o parâmetro . A partir daí, podemos identificar:
  • Um ponto da reta quando : .
  • O vetor diretor da reta, que são os coeficientes de nas equações: .

Passo 3

Como estamos procurando um plano ortogonal à reta n = (1, 0, -1) , o vetor diretor da reta será o vetor normal ( ) do plano. Então, temos:
O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor no plano, e como o plano é perpendicular à reta, faz sentido que seja o vetor diretor da reta.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação geral do plano, que é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano, que nesse caso é .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
1(x - 0) + 0(y - 1) + (-1)(z - 1) = 0
Simplificando:
x + 0(y - 1) - (z - 1) = 0 x - z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano x - z + 1 = 0 é:

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