Determine a equação do plano ortogonal a reta , e que contém o ponto .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de um plano que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) a uma reta dada e que passe por um ponto específico .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre:
Equação paramétrica de uma reta.
Vetores normais e como eles relacionam com a equação de um plano.
Equação geral de um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta que está na forma paramétrica:
Essa forma nos mostra como , e variam com o parâmetro . A partir daí, podemos identificar:
Um ponto da reta quando : .
O vetor diretor da reta, que são os coeficientes de nas equações: .
Passo 3
Como estamos procurando um plano ortogonal à reta , o vetor diretor da reta será o vetor normal () do plano. Então, temos:
O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor no plano, e como o plano é perpendicular à reta, faz sentido que seja o vetor diretor da reta.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação geral do plano, que é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano, que nesse caso é .