Determine a equação do plano ortogonal a reta , e que contém o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação de um plano que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) a uma reta dada e que passe por um ponto específico .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre:
  • Equação paramétrica de uma reta.
  • Vetores normais e como eles relacionam com a equação de um plano.
  • Equação geral de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta que está na forma paramétrica:
Essa forma nos mostra como , e variam com o parâmetro . A partir daí, podemos identificar:
  • Um ponto da reta quando : .
  • O vetor diretor da reta, que são os coeficientes de nas equações: .

Passo 3

Como estamos procurando um plano ortogonal à reta , o vetor diretor da reta será o vetor normal ( ) do plano. Então, temos:
O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor no plano, e como o plano é perpendicular à reta, faz sentido que seja o vetor diretor da reta.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação geral do plano, que é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano, que nesse caso é .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:

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Considere os pontos e de . Verificar se os pontos e são colineares. Caso não sejam, determinar a equação geral do plano que contém esses três pontos.
Considere o plano gerado pelos vetores e .
(a) Mostrar que o vetor é paralelo a .
(b) Mostrar que o vetor é ortogonal a .
Determine as equações paramétricas do plano :
(a) que passa pelo ponto e que seja paralelo aos vetores e ;
(b) que passa pela origem de e que seja paralelo aos vetores e .
Para cada um dos sistemas lineares:
(I)
(a) Identifique:
(i) a matriz dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz das incógnitas;
(iii) a matriz dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada