Identifiar a cônica, achar a equação no ultima sistema de coordenadas utilizado:
(10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para identificar a cônica representada pela equação . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas e como identificá-las a partir da equação geral. Vamos precisar usar métodos de álgebra para simplificar a equação e determinar que tipo de cônica estamos lidando, além de possivelmente realizar uma rotação de eixos para facilitar a identificação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 8:
Passo 3
Agora, observamos que a equação possui termos , e . A presença do termo indica que a cônica pode estar rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para identificar a cônica, vamos calcular o discriminante da equação geral da cônica:
Onde na nossa equação, , , e . Calculando:
Passo 4
O discriminante nos diz o tipo de cônica:
Se , é uma hipérbole.
Se , é uma parábola.
Se , é uma elipse (ou círculo se e ).
Como , a cônica é uma parábola.
Passo 5
No entanto, precisamos confirmar isso realizando uma rotação dos eixos para eliminar o termo . A fórmula para o ângulo de rotação é:
Substituindo os valores:
Isso significa que , então .
Passo 6
Com a rotação de , as novas coordenadas estão relacionadas às antigas por:
Como , . Substituindo na equação original e simplificando, obtém-se:
Esta é a equação de duas retas retaspasadas, mas considerando a forma reduzida anterior, confirma que a cônica é uma parábola após a rotação.
Resposta
A cônica representada pela equação é uma parábola no sistema de coordenadas rotacionado em .