Identifiar a cônica, achar a equação no ultima sistema de coordenadas utilizado:
(10 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para identificar a cônica representada pela equação . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas e como identificá-las a partir da equação geral. Vamos precisar usar métodos de álgebra para simplificar a equação e determinar que tipo de cônica estamos lidando, além de possivelmente realizar uma rotação de eixos para facilitar a identificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 8:

Passo 3

Agora, observamos que a equação possui termos , e . A presença do termo indica que a cônica pode estar rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para identificar a cônica, vamos calcular o discriminante da equação geral da cônica:
Onde na nossa equação, , , e . Calculando:

Passo 4

O discriminante nos diz o tipo de cônica:
  • Se , é uma hipérbole.
  • Se , é uma parábola.
  • Se , é uma elipse (ou círculo se e ).
Como , a cônica é uma parábola.

Passo 5

No entanto, precisamos confirmar isso realizando uma rotação dos eixos para eliminar o termo . A fórmula para o ângulo de rotação é:
Substituindo os valores:
Isso significa que , então .

Passo 6

Com a rotação de , as novas coordenadas estão relacionadas às antigas por:
Como , . Substituindo na equação original e simplificando, obtém-se:
Esta é a equação de duas retas retaspasadas, mas considerando a forma reduzida anterior, confirma que a cônica é uma parábola após a rotação.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma parábola no sistema de coordenadas rotacionado em .

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas e simétrica da reta , que passa pelo ponto , e é paralela ao vetor dado:
(a) e ;
(b) e ;
© e ;
(d) e .
Para cada um dos sistemas lineares:
(I)
(a) Identifique:
(i) a matriz dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz das incógnitas;
(iii) a matriz dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada
Determinar a projeção ortogonal do vetor sob a reta .
Determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano .