Determine as equações paramétricas do plano Pi :
(a) que passa pelo ponto P0=(1,1, 95) e que seja paralelo aos vetores u=(1,0, 35) e v=(1,-2, 75);
(b) que passa pela origem de R^3 e que seja paralelo aos vetores i=(1,0,0) e j=(0,1,0).

Passo 1

Vamos resolver as equações paramétricas de dois planos no espaço tridimensional. No primeiro caso, o plano passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . No segundo caso, o plano passa pela origem e é paralelo aos vetores e . Para resolver, vamos utilizar a forma paramétrica de um plano, que envolve um ponto fixo e dois vetores diretores.

Passo 2

Parte (a): Primeiro, identificamos um ponto pelo qual o plano passa, que é . Além disso, temos dois vetores que são paralelos ao plano: e .

Passo 3

A forma paramétrica de um plano é dada por:
x = x0 + a cdot s + b cdot t y = y0 + c cdot s + d cdot t z = z0 + e cdot s + f cdot t
onde é um ponto do plano, e e são os vetores diretores, com e sendo parâmetros reais.

Passo 4

Aplicando os valores de x = 1 + 1 cdot s + 1 cdot t y = 1 + 0 cdot s + (-2) cdot t z = 95 + 35 cdot s + 75 cdot t e os vetores Pia: x = 1 + s + t y = 1 - 2t z = 95 + 35s + 75t e , temos:
Simplificando, a equação paramétrica do plano fica:

Passo 5

Parte (b): Agora, consideramos o plano que passa pela origem e é paralelo aos vetores e .

Passo 6

Usando novamente a forma paramétrica, com x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t y = 0 + 0 cdot s + 1 cdot t z = 0 + 0 cdot s + 0 cdot t e vetores Pib: x = s y = t z = 0 e :
Simplificando, a equação paramétrica do plano é:

Resposta

As equações paramétricas dos planos são:
(a)
Pia: x = 1 + s + t y = 1 - 2t z = 95 + 35s + 75t
(b)
Pib: x = s y = t z = 0

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