Para cada um dos sistemas lineares:
(I) 2 x-y+z-w & =1 x+y+z & =4
(b) Escalone a matriz ampliada [A mid B].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisamos escalar a matriz ampliada . Isso significa que vamos transformar a matriz para uma forma mais simples, onde é mais fácil resolver as incógnitas. Para isso, vamos usar operações de linhas, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada [cccc|c 2 & -1 & 1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 & 4 ] com base no sistema dado:
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.

Passo 3

Agora, queremos ter um 1 na primeira posição (canto superior esquerdo) para facilitar as operações. Vamos trocar a primeira linha pela segunda, já que a segunda linha começa com 1:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & 4 2 & -1 & 1 & -1 & 1 ]

Passo 4

Em seguida, queremos zerar o número abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda menos 2 vezes a primeira linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
Calculando:
2 - 2 times 1 = 0 -1 - 2 times 1 = -3 1 - 2 times 1 = -1 -1 - 2 times 0 = -1 1 - 2 times 4 = -7
Então, a matriz fica:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & 4 0 & -3 & -1 & -1 & -7 ]

Passo 5

Agora, queremos ter um 1 na posição (2,2). Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por Linha 2 = -13 times Linha 2 :
0 times -13 = 0 -3 times -13 = 1 -1 times -13 = 13 -1 times -13 = 13 -7 times -13 = 73
Calculando:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & 4 0 & 1 & 13 & 13 & 73 ]
Assim, a matriz fica:

Passo 6

Por último, vamos zerar o número acima do 1 na segunda coluna. Para isso, substituímos a primeira linha pela primeira menos a segunda:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2
Calculando:
1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 1 - 13 = 23 0 - 13 = -13 4 - 73 = 53
Então, a matriz escalonada fica:
[cccc|c 1 & 0 & 23 & -13 & 53 0 & 1 & 13 & 13 & 73 ]

Resposta

A matriz ampliada escalonada é:
[cccc|c 1 & 0 & 23 & -13 & 53 0 & 1 & 13 & 13 & 73 ]

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares:
(III) x1+x2+2 x3 & =8 -x1-2 x2+3 x3 & =1 3 x1-7 x2+4 x3 & =10
(a) Identifique:
(i) a matriz A dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz X das incógnitas;
(iii) a matriz B dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada [A mid B]
Encontre o conjunto solução S subset R^3 do sistema linear homogêneo
r 2 x+4 y+z=0 x+y+2 z=0 x+3 y-z=0
Mostre que S é um subespaço do R^3. Dado o subespaço U=(x, y, z) in R^3 / x-y+z=0, determine um sistema de geradores para o subespaço S cap U.
Determine se as matrizes estão na forma escalonada reduzida:
© [lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
Seja f: R^2 longrightarrow R um funcional linear. Sabendo que f(1,1)=3 e f(3,2)=1, calcule f(1,0) e f(0,1).