Encontre o conjunto solução do sistema linear homogêneo
Mostre que S é um subespaço do R^3. Dado o subespaço U=(x, y, z) in R^3 / x-y+z=0, determine um sistema de geradores para o subespaço S cap U.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares homogêneo em três variáveis:
r 2x + 4y + z = 0 x + y + 2z = 0 x + 3y - z = 0
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções desse sistema, ou seja, o conjunto S subset R^3 que satisfaz todas as equações. Além disso, precisamos mostrar que S é um subespaço de R^3 e encontrar um conjunto de geradores para a interseção de S com outro subespaço U definido por x - y + z = 0. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear como a resolução de sistemas lineares e conceitos de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar S. Como é um sistema homogêneo (todas as equações são iguais a zero), sabemos que pelo menos a solução trivial (0, 0, 0) está no conjunto solução. Mas queremos todas as soluções possíveis.
Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos expressar as variáveis em termos de parâmetros.
Passo 5
Vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Observamos que a variável z não aparece como pivô, então podemos deixá-la como parâmetro. Vamos chamar z = t, onde t in R.
Usando a Linha 2:
y - 32t = 0 Rightarrow y = 32t
Usando a Linha 1:
x + y + 2z = 0 Rightarrow x = -y - 2z = -32t - 2t = -72t
Portanto, as soluções do sistema podem ser expressas como:
(x, y, z) = ( -72t, 32t, t ) = t ( -72, 32, 1 )
Onde t é qualquer número real.
Passo 6
Agora que temos a solução em termos de um parâmetro t, podemos descrever o conjunto solução S como todos os múltiplos do vetor ( -72, 32, 1 ). Isso significa que S é uma reta que passa pela origem no espaço tridimensional R^3.
Para mostrar que S é um subespaço de R^3, precisamos verificar três propriedades:
Contém o vetor zero: Sim, para t = 0, temos (0, 0, 0) in S.
É fechado sob adição: Se u, v in S, então u + v in S.
�� fechado sob multiplicação por escalar: Se u in S e c é um escalar, então c cdot u in S.
Como todas essas propriedades são satisfeitas, S é realmente um subespaço de R^3.
Passo 7
Agora, vamos considerar o subespaço U definido por:
U = (x, y, z) in R^3 mid x - y + z = 0
Queremos encontrar S cap U, ou seja, todos os vetores que estão tanto em S quanto em U. Como S já é descrito em termos de um parâmetro t, vamos substituir na equação de U:
x - y + z = 0
Usando a solução de S:
-72t - 32t + t = 0 -72t - 32t + t = ( -72 - 32 + 1 ) t = (-5) t = 0
A única solução para essa equação é t = 0, o que significa que o único vetor em comum é o vetor zero.
Portanto, S cap U = (0, 0, 0) .
Como estamos procurando um sistema de geradores para S cap U e esse conjunto contém apenas o vetor zero, o conjunto de geradores é simplesmente (0, 0, 0) .
Resposta
O conjunto solução S cap U é formado apenas pelo vetor zero, e um sistema de geradores para esse subespaço é , (0, 0, 0) ,.