Encontre o conjunto solução S subset R^3 do sistema linear homogêneo
r 2 x+4 y+z=0 x+y+2 z=0 x+3 y-z=0
Mostre que S é um subespaço do R^3. Dado o subespaço U=(x, y, z) in R^3 / x-y+z=0, determine um sistema de geradores para o subespaço S cap U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares homogêneo em três variáveis:
r 2x + 4y + z = 0 x + y + 2z = 0 x + 3y - z = 0
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções desse sistema, ou seja, o conjunto S subset R^3 que satisfaz todas as equações. Além disso, precisamos mostrar que S é um subespaço de R^3 e encontrar um conjunto de geradores para a interseção de S com outro subespaço U definido por x - y + z = 0. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear como a resolução de sistemas lineares e conceitos de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar S. Como é um sistema homogêneo (todas as equações são iguais a zero), sabemos que pelo menos a solução trivial (0, 0, 0) está no conjunto solução. Mas queremos todas as soluções possíveis.
Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
2 & 4 & 1 & | & 0 1 & 1 & 2 & | & 0 1 & 3 & -1 & | & 0
Nosso objetivo é simplificar essa matriz usando eliminação de Gauss para encontrar as soluções.

Passo 3

Vamos começar simplificando a matriz. Primeiro, podemos trocar a primeira linha pela segunda para facilitar os cálculos:
1 & 1 & 2 & | & 0 2 & 4 & 1 & | & 0 1 & 3 & -1 & | & 0
Agora, vamos eliminar o x das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
  • Linha 2: Linha2 - 2 * Linha1 → Nova Linha2
  • Linha 3: Linha3 - Linha1 → Nova Linha3
Depois das operações:
1 & 1 & 2 & | & 0 0 & 2 & -3 & | & 0 0 & 2 & -3 & | & 0
Observamos que a linha 3 ficou igual à linha 2, indicando que uma das equações é redundante.

Passo 4

Agora, simplificamos ainda mais. Vamos dividir a Linha 2 por 2 para facilitar:
1 & 1 & 2 & | & 0 0 & 1 & -32 & | & 0 0 & 2 & -3 & | & 0
Em seguida, eliminamos o y da Linha 3 usando a Linha 2:
  • Linha 3: Linha3 - 2 * Linha2 → Nova Linha3
Calculando:
1 & 1 & 2 & | & 0 0 & 1 & -32 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0
Agora, a matriz está em forma escalonada, e podemos expressar as variáveis em termos de parâmetros.

Passo 5

Vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Observamos que a variável z não aparece como pivô, então podemos deixá-la como parâmetro. Vamos chamar z = t, onde t in R.
Usando a Linha 2:
y - 32t = 0 Rightarrow y = 32t
Usando a Linha 1:
x + y + 2z = 0 Rightarrow x = -y - 2z = -32t - 2t = -72t
Portanto, as soluções do sistema podem ser expressas como:
(x, y, z) = ( -72t, 32t, t ) = t ( -72, 32, 1 )
Onde t é qualquer número real.

Passo 6

Agora que temos a solução em termos de um parâmetro t, podemos descrever o conjunto solução S como todos os múltiplos do vetor ( -72, 32, 1 ). Isso significa que S é uma reta que passa pela origem no espaço tridimensional R^3.
Para mostrar que S é um subespaço de R^3, precisamos verificar três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: Sim, para t = 0, temos (0, 0, 0) in S.
  2. É fechado sob adição: Se u, v in S, então u + v in S.
  3. �� fechado sob multiplicação por escalar: Se u in S e c é um escalar, então c cdot u in S.
Como todas essas propriedades são satisfeitas, S é realmente um subespaço de R^3.

Passo 7

Agora, vamos considerar o subespaço U definido por:
U = (x, y, z) in R^3 mid x - y + z = 0
Queremos encontrar S cap U, ou seja, todos os vetores que estão tanto em S quanto em U. Como S já é descrito em termos de um parâmetro t, vamos substituir na equação de U:
x - y + z = 0
Usando a solução de S:
-72t - 32t + t = 0 -72t - 32t + t = ( -72 - 32 + 1 ) t = (-5) t = 0
A única solução para essa equação é t = 0, o que significa que o único vetor em comum é o vetor zero.
Portanto, S cap U = (0, 0, 0) .
Como estamos procurando um sistema de geradores para S cap U e esse conjunto contém apenas o vetor zero, o conjunto de geradores é simplesmente (0, 0, 0) .

Resposta

O conjunto solução S cap U é formado apenas pelo vetor zero, e um sistema de geradores para esse subespaço é , (0, 0, 0) ,.

Exercícios relacionados

Considere o subespaço vetorial de R^4 dado por:
U=(x, y, z, t) in R^4: x-y+z+t=0 e -x+2 y+z-t=0
Determine um sistema de geradores para U.
Determine se as matrizes estão na forma escalonada reduzida: (d) $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
Para cada um dos sistemas lineares:
(III) x1+x2+2 x3 & =8 -x1-2 x2+3 x3 & =1 3 x1-7 x2+4 x3 & =10
(a) Identifique:
(i) a matriz A dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz X das incógnitas;
(iii) a matriz B dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada [A mid B]
Para cada um dos sistemas lineares:
(I) 2 x-y+z-w & =1 x+y+z & =4
(b) Escalone a matriz ampliada [A mid B].