Para cada um dos sistemas lineares:
(III) x1+x2+2 x3 & =8 -x1-2 x2+3 x3 & =1 3 x1-7 x2+4 x3 & =10
(a) Identifique:
(i) a matriz A dos coeficientes do sistema;
(ii) a matriz X das incógnitas;
(iii) a matriz B dos termos independentes;
(iv) a matriz ampliada [A mid B]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas lineares juntos! O que a gente tem aqui é um sistema com três equações e três incógnitas ( , , ). O objetivo da parte (a) é identificar quatro matrizes importantes nesse sistema: a matriz dos coeficientes , a matriz das incógnitas , a matriz dos termos independentes e a matriz ampliada . Para isso, vamos precisar entender como organizar os números das equações em matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes x1 + x2 + 2x3 =8 -x1 -2x2 + 3x3 =1 3x1 -7x2 +4x3 =10 . Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações. Olhando para o sistema:
A = 1 & 1 & 2 -1 & -2 & 3 3 & -7 & 4
Os coeficientes são:
  • Primeira equação: 1 (de ), 1 (de ), 2 (de )
  • Segunda equação: -1 (de ), -2 (de ), 3 (de )
  • Terceira equação: 3 (de ), -7 (de ), 4 (de )
Então, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora, vamos para a matriz das incógnitas X = x1 x2 x3 . Essa matriz é só uma coluna com todas as variáveis do sistema. No nosso caso, são , e :

Passo 4

Em seguida, temos a matriz dos termos independentes B = 8 1 10 . Essa matriz também é uma coluna, mas com os números que estão do lado direito das equações:

Passo 5

Por último, vamos montar a matriz ampliada [A mid B] = 1 & 1 & 2 & mid & 8 -1 & -2 & 3 & mid & 1 3 & -7 & 4 & mid & 10 . Essa matriz combina a matriz dos coeficientes com a matriz dos termos independentes , separadas por uma barra vertical. Assim, fica:

Resposta

As matrizes identificadas são:
(i); A &= 1 & 1 & 2 -1 & -2 & 3 3 & -7 & 4 (ii); X &= x1 x2 x3 (iii); B &= 8 1 10 (iv); [A mid B] &= 1 & 1 & 2 & mid & 8 -1 & -2 & 3 & mid & 1 3 & -7 & 4 & mid & 10

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r 2 x+4 y+z=0 x+y+2 z=0 x+3 y-z=0
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U=(x, y, z, t) in R^4: x-y+z+t=0 e -x+2 y+z-t=0
Determine um sistema de geradores para U.
Para cada um dos sistemas lineares:
(I) 2 x-y+z-w & =1 x+y+z & =4
(b) Escalone a matriz ampliada [A mid B].
Determine se as matrizes estão na forma escalonada reduzida:
© [lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]