Seja f: R^2 longrightarrow R um funcional linear. Sabendo que f(1,1)=3 e f(3,2)=1, calcule f(1,0) e f(0,1).

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo funções lineares. Especificamente, uma função que é linear. Sabemos que e , e nossa missão é descobrir os valores de e . Para resolver isso, vamos usar as propriedades das funções lineares e montar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função linear f(x, y) = a x + b y de para pode ser escrita como:
onde e são constantes que a gente precisa descobrir. Aqui, representa e representa .

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que a gente tem para montar um sistema de equações. Sabemos que:
f(1,1) = a cdot 1 + b cdot 1 = a + b = 3 (1)
f(3,2) = a cdot 3 + b cdot 2 = 3a + 2b = 1 (2)
Então, temos o seguinte sistema:
a + b = 3 3a + 2b = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar a = 3 - b e 3(3 - b) + 2b = 1 9 - 3b + 2b = 1 9 - b = 1 . Primeiro, da equação (1), podemos expressar -b = 1 - 9 -b = -8 b = 8 em termos de :
Agora, substituímos esse valor de na equação (2):
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos a = 3 - b = 3 - 8 = -5 , vamos substituir de volta na expressão de :

Resposta

Portanto, e .

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