Para cada um dos sistemas lineares:
(I) 2 x-y+z-w & =1 x+y+z & =4
© Discuta o conjunto solução desse sistema escrevendo a solução geral dos mesmos. Há uma única solução? Infinitas delas? Não há solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um sistema de equações lineares com duas equações e quatro incógnitas: , , e . Nosso objetivo é descobrir todas as possíveis soluções desse sistema, ou seja, encontrar valores para , , e que satisfaçam ambas as equações. Para fazer isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a substituição ou a combinação das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações do sistema:
2x - y + z - w = 1 (Equação 1) x + y + z = 4 (Equação 2) çãçã

Passo 3

Vamos tentar simplificar o sistema para encontrar relações entre as variáveis. Vamos isolar x + y + z = 4 implies y = 4 - x - z na Equação 2:

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de 2x - (4 - x - z) + z - w = 1 na Equação 1:
2x - 4 + x + z + z - w = 1 implies 3x + 2z - w = 5
Vamos simplificar:

Passo 5

Agora, temos a equação simplificada:
3x + 2z - w = 5
Como temos mais variáveis do que equações, vamos escolher algumas variáveis como “livres”, ou seja, que podem assumir qualquer valor. Vamos escolher e como variáveis livres.

Passo 6

Expressamos 3x = 5 - 2z + w implies x = 5 - 2z + w3 em termos de e :

Passo 7

Agora, lembrando que y = 4 - (5 - 2z + w3) - z = 12 - (5 - 2z + w) - 3z3 = 7 - w - z3 , substituímos :

Resposta

Então, o conjunto solução do sistema é dado por:
x = dfrac5 - 2z + w3 y = dfrac7 - w - z3 z = livre w = livre
Isso significa que existem infinitas soluções, pois podemos escolher qualquer valor para e , e então e são determinados a partir desses valores.

Exercícios relacionados