Sejam e retas paralelas aos vetores e , respectivamente. Suponha que . Determinar um ponto da reta , equidistante às retas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas retas, e , que são paralelas aos vetores e , respectivamente. Além disso, sabemos que elas se cruzam no ponto . Temos também uma terceira reta definida pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é encontrar um ponto na reta que esteja a mesma distância das retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as equações paramétricas das retas e . Sabemos que ambas passam pelo ponto e têm direções dadas pelos vetores e , respectivamente. Então:
Para a reta :
Simplificando:
Para a reta :
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um ponto na reta que seja equidistante das retas e . Vamos supor que está na reta para algum valor de . As coordenadas de são:
A distância entre um ponto e uma reta no espaço é dada pela fórmula:
Onde:
  • é o vetor que vai de um ponto na reta até o ponto .
  • é o vetor diretor da reta.
  • representa a norma do vetor.
Vamos calcular as distâncias de para as retas e usando essa fórmula.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a distância de para a reta .
A reta passa pelo ponto e tem vetor diretor .
O vetor é:
Agora, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
A norma desse vetor é:
A norma do vetor diretor é:
Então, a distância de para é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância de para a reta .
A reta passa pelo ponto e tem vetor diretor .
O vetor é:
Calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
A norma desse vetor é:
A norma do vetor diretor é:
Então, a distância de para é:

Passo 6

Queremos que seja equidistante das retas e , ou seja, . Então, igualamos as duas expressões:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .
Primeiro, ambos os lados são positivos, então podemos elevar ao quadrado para eliminar as raízes:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Agora, temos:
Levando todos os termos para um lado da equação:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Portanto, temos duas soluções para :

Resposta

Os pontos na reta equidistantes das retas e são dados por:
e
Simplificando:

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