Sejam e retas paralelas aos vetores e , respectivamente. Suponha que . Determinar um ponto da reta , equidistante às retas r e s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas retas, x = 1 + 2t y = 1 + t z = 1 - 2t , t in R e , que são paralelas aos vetores e , respectivamente. Além disso, sabemos que elas se cruzam no ponto . Temos também uma terceira reta definida pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é encontrar um ponto na reta que esteja a mesma distância das retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre a distância entre um ponto e uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as equações paramétricas das retas x = -1 + 0 cdot lambda y = 0 + 0 cdot lambda z = 0 - 1 cdot lambda , lambda in R e r: x = -1 y = 0 z = -lambda . Sabemos que ambas passam pelo ponto x = -1 + 1 cdot mu y = 0 - 1 cdot mu z = 0 + 0 cdot mu , mu in R e têm direções dadas pelos vetores s: x = -1 + mu y = -mu z = 0 e , respectivamente. Então:
Para a reta :
Simplificando:
Para a reta :
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um ponto P(t) = (1 + 2t,; 1 + t,; 1 - 2t) na reta d = ||AP times d||||d|| que seja equidistante das retas e . Vamos supor que está na reta para algum valor de . As coordenadas de são:
A distância entre um ponto e uma reta no espaço é dada pela fórmula:
Onde:
é o vetor que vai de um ponto na reta até o ponto .
é o vetor diretor da reta.
representa a norma do vetor.
Vamos calcular as distâncias de para as retas e usando essa fórmula.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a distância de AP = P(t) - A = (1 + 2t - (-1),; 1 + t - 0,; 1 - 2t - 0) = (2 + 2t,; 1 + t,; 1 - 2t) para a reta AP times u = i & j & k 2 + 2t & 1 + t & 1 - 2t 0 & 0 & -1 = i cdot ( (1 + t)(-1) - (1 - 2t)(0) ) - j cdot ( (2 + 2t)(-1) - (1 - 2t)(0) ) + k cdot ( (2 + 2t)(0) - (1 + t)(0) ) .
A reta AP times u = (-1 - t)i + (2 + 2t)j + 0k = (-1 - t,; 2 + 2t,; 0) passa pelo ponto ||AP times u|| = raiz(-1 - t)^2 + (2 + 2t)^2 + 0^2 = raiz(1 + 2t + t^2) + (4 + 8t + 4t^2) = raiz5 + 10t + 5t^2 = raiz5(t^2 + 2t + 1) = raiz5(t + 1)^2 = raiz5 |t + 1| e tem vetor diretor ||u|| = raiz0^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 .
O vetor dr = raiz5 |t + 1|1 = raiz5 |t + 1| é:
Agora, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
A norma desse vetor é:
A norma do vetor diretor é:
Então, a distância de para é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância de BP = P(t) - B = (1 + 2t - (-1),; 1 + t - 0,; 1 - 2t - 0) = (2 + 2t,; 1 + t,; 1 - 2t) para a reta BP times v = i & j & k 2 + 2t & 1 + t & 1 - 2t 1 & -1 & 0 = i cdot ( (1 + t)(0) - (1 - 2t)(-1) ) - j cdot ( (2 + 2t)(0) - (1 - 2t)(1) ) + k cdot ( (2 + 2t)(-1) - (1 + t)(1) ) .