Sejam r e s retas paralelas aos vetores u=(0,0,-1) e v=(1,-1,0), respectivamente. Suponha que r cap s=(-1,0,0). Determinar um ponto P da reta l:lx=1+2 t y=1+t z=1-2 t , t in R, equidistante às retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas retas, x = 1 + 2t y = 1 + t z = 1 - 2t , t in R e , que são paralelas aos vetores e , respectivamente. Além disso, sabemos que elas se cruzam no ponto . Temos também uma terceira reta definida pelas equações paramétricas:
Nosso objetivo é encontrar um ponto na reta que esteja a mesma distância das retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as equações paramétricas das retas x = -1 + 0 cdot lambda y = 0 + 0 cdot lambda z = 0 - 1 cdot lambda , lambda in R e r: x = -1 y = 0 z = -lambda . Sabemos que ambas passam pelo ponto x = -1 + 1 cdot mu y = 0 - 1 cdot mu z = 0 + 0 cdot mu , mu in R e têm direções dadas pelos vetores s: x = -1 + mu y = -mu z = 0 e , respectivamente. Então:
Para a reta :
Simplificando:
Para a reta :
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um ponto P(t) = (1 + 2t,; 1 + t,; 1 - 2t) na reta d = ||AP times d||||d|| que seja equidistante das retas e . Vamos supor que está na reta para algum valor de . As coordenadas de são:
A distância entre um ponto e uma reta no espaço é dada pela fórmula:
Onde:
  • é o vetor que vai de um ponto na reta até o ponto .
  • é o vetor diretor da reta.
  • representa a norma do vetor.
Vamos calcular as distâncias de para as retas e usando essa fórmula.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a distância de AP = P(t) - A = (1 + 2t - (-1),; 1 + t - 0,; 1 - 2t - 0) = (2 + 2t,; 1 + t,; 1 - 2t) para a reta AP times u = i & j & k 2 + 2t & 1 + t & 1 - 2t 0 & 0 & -1 = i cdot ( (1 + t)(-1) - (1 - 2t)(0) ) - j cdot ( (2 + 2t)(-1) - (1 - 2t)(0) ) + k cdot ( (2 + 2t)(0) - (1 + t)(0) ) .
A reta AP times u = (-1 - t)i + (2 + 2t)j + 0k = (-1 - t,; 2 + 2t,; 0) passa pelo ponto ||AP times u|| = raiz(-1 - t)^2 + (2 + 2t)^2 + 0^2 = raiz(1 + 2t + t^2) + (4 + 8t + 4t^2) = raiz5 + 10t + 5t^2 = raiz5(t^2 + 2t + 1) = raiz5(t + 1)^2 = raiz5 |t + 1| e tem vetor diretor ||u|| = raiz0^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 .
O vetor dr = raiz5 |t + 1|1 = raiz5 |t + 1| é:
Agora, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
A norma desse vetor é:
A norma do vetor diretor é:
Então, a distância de para é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância de BP = P(t) - B = (1 + 2t - (-1),; 1 + t - 0,; 1 - 2t - 0) = (2 + 2t,; 1 + t,; 1 - 2t) para a reta BP times v = i & j & k 2 + 2t & 1 + t & 1 - 2t 1 & -1 & 0 = i cdot ( (1 + t)(0) - (1 - 2t)(-1) ) - j cdot ( (2 + 2t)(0) - (1 - 2t)(1) ) + k cdot ( (2 + 2t)(-1) - (1 + t)(1) ) .
A reta BP times v = (0 + 1 - 2t)i - (0 - 1 + 2t)j + (-2 - 2t - 1 - t)k = (1 - 2t,; 1 - 2t,; -3 - 3t) passa pelo ponto ||BP times v|| = raiz(1 - 2t)^2 + (1 - 2t)^2 + (-3 - 3t)^2 = raiz(1 - 4t + 4t^2) + (1 - 4t + 4t^2) + (9 + 18t + 9t^2) = raiz2 - 8t + 8t^2 + 9 + 18t + 9t^2 = raiz11 + 10t + 17t^2 e tem vetor diretor ||v|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2 .
O vetor ds = raiz11 + 10t + 17t^2raiz2 é:
Calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
A norma desse vetor é:
A norma do vetor diretor é:
Então, a distância de para é:

Passo 6

Queremos que raiz5 |t + 1| = raiz11 + 10t + 17t^2raiz2 seja equidistante das retas 5(t + 1)^2 = 11 + 10t + 17t^22 e 10(t + 1)^2 = 11 + 10t + 17t^2 , ou seja, 10(t^2 + 2t + 1) = 10t^2 + 20t + 10 . Então, igualamos as duas expressões:
10t^2 + 20t + 10 = 11 + 10t + 17t^2
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 10t^2 + 20t + 10 - 11 - 10t - 17t^2 = 0 -7t^2 + 10t -1 = 0 .
Primeiro, ambos os lados são positivos, então podemos elevar ao quadrado para eliminar as raízes:
7t^2 - 10t + 1 = 0
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Agora, temos:
Levando todos os termos para um lado da equação:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
De
Onde t = 10 pm raiz7214 = 10 pm 6raiz214 = 5 pm 3raiz27 , t1 = 5 + 3raiz27 e t2 = 5 - 3raiz27 e .
Calculando o discriminante:
Então:
Portanto, temos duas soluções para :

Resposta

Os pontos P1 = (1 + 2(5 + 3raiz27),; 1 + (5 + 3raiz27),; 1 - 2(5 + 3raiz27)) na reta P2 = (1 + 2(5 - 3raiz27),; 1 + (5 - 3raiz27),; 1 - 2(5 - 3raiz27)) equidistantes das retas P1 = (19 + 6raiz27,; 12 + 3raiz27,; -9 - 6raiz27) e P2 = (19 - 6raiz27,; 12 - 3raiz27,; -9 + 6raiz27) são dados por:
e
Simplificando:

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