(1,0 ponto) Sejam e pontos do espaço. Calcule a área do paralelogramo que tem como arestas adjacentes os segmentos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . A pergunta é pra calcular a área de um paralelogramo que tem como lados os segmentos entre e , e entre e . Para resolver isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que nos ajuda a achar a área desse paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar os vetores que representam os lados do paralelogramo. Esses vetores são dados pelos segmentos e .
O vetor é calculado subtraindo as coordenadas de de :
Já o vetor é:
Passo 3
Agora que temos os dois vetores, vamos usar o produto vetorial (ou produto cruzado) para encontrar uma nova vetor que é perpendicular aos dois originais. A magnitude desse vetor resultante é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores e .
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
Á
Resposta
A área do paralelogramo é igual a unidades de área.