(1,0 ponto) Sejam P0=(1,-1,2), P=(1,3,1) e Q=(2,-1,0) pontos do espaço. Calcule a área do paralelogramo P que tem como arestas adjacentes os segmentos P0 P e P0 Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . A pergunta é pra calcular a área de um paralelogramo que tem como lados os segmentos entre e , e entre e . Para resolver isso, vamos usar vetores e o produto vetorial, que nos ajuda a achar a área desse paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar os vetores que representam os lados do paralelogramo. Esses vetores são dados pelos segmentos P0P = P - P0 = (1 - 1, 3 - (-1), 1 - 2) = (0, 4, -1) e P0Q = Q - P0 = (2 - 1, -1 - (-1), 0 - 2) = (1, 0, -2) .
O vetor é calculado subtraindo as coordenadas de de :
Já o vetor é:

Passo 3

Agora que temos os dois vetores, vamos usar o produto vetorial (ou produto cruzado) para encontrar uma nova vetor que é perpendicular aos dois originais. A magnitude desse vetor resultante é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores P0P times P0Q = i & j & k 0 & 4 & -1 1 & 0 & -2 e P0P times P0Q = i(4 cdot (-2) - (-1) cdot 0) - j(0 cdot (-2) - (-1) cdot 1) + k(0 cdot 0 - 4 cdot 1) .
O produto vetorial é dado por:
= i(-8) - j(0 + 1) + k(0 - 4)
Calculando o determinante:
= -8i - j - 4k

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo:
Área = |P0P times P0Q| = raiz(-8)^2 + (-1)^2 + (-4)^2 = raiz64 + 1 + 16 = raiz81 = 9 Á

Resposta

A área do paralelogramo é igual a unidades de área.

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