Para cada um dos sistemas lineares:
(II) 2 x-y+3 z & =11 4 x-3 y+2 z & =0 x+y+z & =6 3 x+y+z & =4
© Discuta o conjunto solução desse sistema escrevendo a solução geral dos mesmos. Há uma única solução? Infinitas delas? Não há solução?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá quatro equações com três incógnitas (x, y e z). Nosso objetivo aqui é descobrir se há uma única solução, infinitas soluções ou se não tem solução pra esse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema e encontrar as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a resolução:
2x - y + 3z = 11 (Equação 1) 4x - 3y + 2z = 0 (Equação 2) x + y + z = 6 (Equação 3) 3x + y + z = 4 (Equação 4) çãçãçãçã
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Geralmente, começamos com x. Para isso, podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e subtrair da Equação 2 para eliminar o x.
Multiplicando a Equação 1 por 2:
2 times (2x - y + 3z) = 2 times 11 4x - 2y + 6z = 22 (Equação 1') çã
Agora, subtraindo a Equação 2 da Equação 1’:
(4x - 2y + 6z) - (4x - 3y + 2z) = 22 - 0 0x + y + 4z = 22 (Equação 5) çã

Passo 3

Agora, temos uma nova equação (Equação 5) que é mais simples. Vamos usar a Equação 3 para eliminar outra variável. Por exemplo, podemos eliminar x novamente.
Subtraindo a Equação 3 da Equação 4:
(3x + y + z) - (x + y + z) = 4 - 6 2x + 0y + 0z = -2 2x = -2 x = -1
Agora que encontramos o valor de x, podemos substituir esse valor em outras equações para encontrar y e z.

Passo 4

Vamos substituir x = -1 na Equação 3:
(-1) + y + z = 6 y + z = 7 (Equação 6) çã
E também na Equação 1:
2(-1) - y + 3z = 11 -2 - y + 3z = 11 -y + 3z = 13 y = 3z - 13 (Equação 7) çã
Agora, substituímos a Equação 7 na Equação 6:
(3z - 13) + z = 7 4z - 13 = 7 4z = 20 z = 5
Agora que temos z, encontramos y usando a Equação 7:
y = 3(5) - 13 y = 15 - 13 y = 2

Passo 5

Com os valores encontrados:
x = -1, y = 2, z = 5
Vamos verificar se esses valores satisfazem todas as equações originais para confirmar a consistência do sistema.
Substituindo na Equação 4:
3(-1) + 2 + 5 = -3 + 2 + 5 = 4 (Confere)
Portanto, todas as equaç��es são satisfeitas com esses valores.

Resposta

O sistema possui uma única solução:
x = -1, y = 2, z = 5

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