Sobre Espaços Gerados, responda os seguintes itens:
b) Determine os valores para que de pertença a , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de de um vetor no espaço tridimensional () que pertence ao espaço gerado pelos vetores , e . Isso está relacionado ao conceito de espaços gerados na álgebra linear, onde queremos expressar um vetor como combinação linear de outros vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa pertencer a . Significa que o vetor pode ser escrito como:
Aqui, são escalares (números que multiplicam os vetores respectivamente).
Passo 3
Vamos escrever isso matematicamente:
Isso significa que cada componente do vetor é uma combinação das componentes dos vetores .
Passo 4
Agora, vamos separar isso em três equações, uma para cada componente:
Simplificando, temos:
x = a - b + 3c y = 2a + b z = 2b - 4c
Passo 5
Nosso objetivo é expressar em termos de . Ou seja, queremos resolver esse sistema para dados . Para isso, podemos usar métodos como substituição ou matrizes. Vamos optar por substituição para manter a simplicidade.
Passo 6
Primeiro, da segunda equação:
y = 2a + b Rightarrow b = y - 2a
Agora, substituímos x = a - (y - 2a) + 3c x = a - y + 2a + 3c x = 3a - y + 3c na primeira equação:
3a + 3c = x + y Rightarrow a + c = x + y3 Rightarrow a = x + y3 - c
Podemos rearranjar para:
Passo 7
Agora, vamos para a terceira equação:
z = 2b - 4c
Como já sabemos que z = 2(y - 2a) - 4c z = 2y - 4a - 4c , substituímos:
z = 2y - 4(x + y3 - c) - 4c z = 2y - 4(x + y)3 + 4c - 4c z = 2y - 4x + 4y3 z = 6y - 4x - 4y3 z = 2y - 4x3 Rightarrow y = 2x + 3z2
Substituindo da equação anterior:
Passo 8
Finalmente, podemos expressar a = x + y3 - c b = y - 2a em termos de :
Mas precisamos de uma relação que nos permita determinar . Observando que na última equação encontramos uma relação entre e , essa seria nossa condição para que pertença a .
Resposta
Os valores devem satisfazer a relação para que o vetor pertença a .