Sobre Espaços Gerados, responda os seguintes itens:
b) Determine os valores x, y, z para que u=(x, y, z) de R^3 pertença a W=[u1, u2, u3], onde u1=(1,2,0), u2=(-1,1,2) e u3=(3,0,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de de um vetor no espaço tridimensional ( ) que pertence ao espaço gerado pelos vetores , e . Isso está relacionado ao conceito de espaços gerados na álgebra linear, onde queremos expressar um vetor como combinação linear de outros vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa pertencer a u = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 . Significa que o vetor pode ser escrito como:
Aqui, são escalares (números que multiplicam os vetores respectivamente).

Passo 3

Vamos escrever isso matematicamente:
(x, y, z) = a cdot (1,2,0) + b cdot (-1,1,2) + c cdot (3,0,-4)
Isso significa que cada componente do vetor é uma combinação das componentes dos vetores .

Passo 4

Agora, vamos separar isso em três equações, uma para cada componente:
x = a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 3 y = a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot 0 z = a cdot 0 + b cdot 2 + c cdot (-4)
Simplificando, temos:
x = a - b + 3c y = 2a + b z = 2b - 4c

Passo 5

Nosso objetivo é expressar em termos de . Ou seja, queremos resolver esse sistema para dados . Para isso, podemos usar métodos como substituição ou matrizes. Vamos optar por substituição para manter a simplicidade.

Passo 6

Primeiro, da segunda equação:
y = 2a + b Rightarrow b = y - 2a
Agora, substituímos x = a - (y - 2a) + 3c x = a - y + 2a + 3c x = 3a - y + 3c na primeira equação:
3a + 3c = x + y Rightarrow a + c = x + y3 Rightarrow a = x + y3 - c
Podemos rearranjar para:

Passo 7

Agora, vamos para a terceira equação:
z = 2b - 4c
Como já sabemos que z = 2(y - 2a) - 4c z = 2y - 4a - 4c , substituímos:
z = 2y - 4(x + y3 - c) - 4c z = 2y - 4(x + y)3 + 4c - 4c z = 2y - 4x + 4y3 z = 6y - 4x - 4y3 z = 2y - 4x3 Rightarrow y = 2x + 3z2
Substituindo da equação anterior:

Passo 8

Finalmente, podemos expressar a = x + y3 - c b = y - 2a em termos de :
Mas precisamos de uma relação que nos permita determinar . Observando que na última equação encontramos uma relação entre e , essa seria nossa condição para que pertença a .

Resposta

Os valores devem satisfazer a relação para que o vetor pertença a .

Exercícios relacionados

Considere o subconjunto C=(infty, prime, infty),(in, infty, in),(infty, in, in) do R^3. Pede-se:
b) Encontre a matriz de mudança da base C para a base a base canônica E.
Seja V=P3(R), o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 .
b) Escreva as coordenadas de p(x)=1+x+x^2+x^3 em relação à base B.
Para cada um dos sistemas lineares:
(II) 2 x-y+3 z & =11 4 x-3 y+2 z & =0 x+y+z & =6 3 x+y+z & =4
© Discuta o conjunto solução desse sistema escrevendo a solução geral dos mesmos. Há uma única solução? Infinitas delas? Não há solução?
Sobre Espaços Gerados, responda os seguintes itens:
c) Mostre que o espaço vetorial V=P(R) dos polinômios p(t) reais não pode ser gerado por um número finito de polinômios.