Sobre Espaços Gerados, responda os seguintes itens:
c) Mostre que o espaço vetorial
dos polinômios
reais não pode ser gerado por um número finito de polinômios.
c) Mostre que o espaço vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, não pode ser gerado por um número finito de polinômios. Ou seja, não dá para pegar um número limitado de polinômios e, combinando eles, conseguir todo polinômio possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dimensão de espaço vetorial e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial ser “gerado” por um conjunto de vetores (nesse caso, polinômios) significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Se o espaço puder ser gerado por um número finito de vetores, ele é chamado de espaço vetorial de dimensão finita.
Passo 3
Agora, vamos considerar
. Esse espaço inclui todos os polinômios
de qualquer grau. Por exemplo, temos polinômios como
,
,
,
, e assim por diante, até o infinito.
Passo 4
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que
pode ser gerado por um número finito de polinômios. Digamos que os polinômios
gerem todo o espaço
.
Passo 5
Cada um desses polinômios
tem um grau máximo, digamos que o maior grau entre eles seja
. Isso significa que qualquer combinação linear desses polinômios também terá grau no máximo
.
Passo 6
Mas, por definição,
inclui polinômios de grau arbitrariamente alto, como
,
, e assim por diante. Não tem como escrever
como uma combinação linear de polinômios de grau no máximo
, pois isso exigiria um polinômio de grau maior.
Passo 7
Essa contradição mostra que nossa suposição inicial está errada. Portanto, não existe um número finito de polinômios que possam gerar todo o espaço
.
Resposta
O espaço vetorial
dos polinômios reais não pode ser gerado por um número finito de polinômios porque sempre existe um polinômio de grau maior que qualquer combinado a partir de um conjunto finito, tornando impossível gerar todos os polinômios.