Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um subespaço vetorial de definido por duas equações lineares:
O que a gente precisa encontrar é um sistema de geradores para . Ou seja, queremos achar um conjunto de vetores que, combinando-se linearmente, consigam gerar qualquer vetor que satisfaça essas duas equações. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o método de resolução de sistemas lineares e a ideia de geração de subespaços através de combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Vamos chamar as variáveis livres de e , já que temos duas equações para quatro variáveis, o que sugere que podemos ter duas variáveis independentes.
As equações são:
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, substituímos na equação (1):
Então, temos:
Isso mostra que nossas variáveis livres são e .
Passo 3
Agora, para encontrar um sistema de geradores, expressamos o vetor (x, y, z, t) = (-3z - t, -2z, z, t) em termos das variáveis livres = z cdot (-3, -2, 1, 0) + t cdot (-1, 0, 0, 1) e :
Podemos separar essa expressão em combinações lineares das variáveis livres:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 4
Portanto, o sistema de geradores para é composto por esses dois vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser obtido multiplicando esses vetores por escalares e somando-os.
Resposta
Um sistema de geradores para , (-3, -2, 1, 0), (-1, 0, 0, 1) , é dado pelos vetores: