Considere o subespaço vetorial de R^4 dado por:
U=(x, y, z, t) in R^4: x-y+z+t=0 e -x+2 y+z-t=0
Determine um sistema de geradores para U.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um subespaço vetorial x - y + z + t = 0 -x + 2y + z - t = 0 de definido por duas equações lineares:
O que a gente precisa encontrar é um sistema de geradores para . Ou seja, queremos achar um conjunto de vetores que, combinando-se linearmente, consigam gerar qualquer vetor que satisfaça essas duas equações. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o método de resolução de sistemas lineares e a ideia de geração de subespaços através de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Vamos chamar as variáveis livres de x - y + z + t = 0 (1) -x + 2y + z - t = 0 (2) e (x - y + z + t) + (-x + 2y + z - t) = 0 + 0 0 + y + 2z + 0 = 0 y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z , já que temos duas equações para quatro variáveis, o que sugere que podemos ter duas variáveis independentes.
As equações são:
x - (-2z) + z + t = 0 x + 2z + z + t = 0 x + 3z + t = 0 Rightarrow x = -3z - t
Vamos somar as duas equações para eliminar x = -3z - t y = -2z z = z t = t :
Agora, substituímos na equação (1):
Então, temos:
Isso mostra que nossas variáveis livres são e .

Passo 3

Agora, para encontrar um sistema de geradores, expressamos o vetor (x, y, z, t) = (-3z - t, -2z, z, t) em termos das variáveis livres = z cdot (-3, -2, 1, 0) + t cdot (-1, 0, 0, 1) e :
Podemos separar essa expressão em combinações lineares das variáveis livres:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 4

Portanto, o sistema de geradores para é composto por esses dois vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser obtido multiplicando esses vetores por escalares e somando-os.

Resposta

Um sistema de geradores para , (-3, -2, 1, 0), (-1, 0, 0, 1) , é dado pelos vetores:

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