Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como a unicidade da solução, e represente-as graficamente.
{ 2x + 4y = 8, x + 2y = 4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! O enunciado nos dá um sistema linear com duas equações e duas incógnitas: e . Nosso objetivo aqui é descobrir se há solução para esse sistema e se essa solução é única. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como eliminação de variáveis e análise de dependência entre as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a visualização:
çãçã

Passo 3

Observando as duas equações, percebemos que a Equação 1 é exatamente o dobro da Equação 2. Vamos verificar isso multiplicando a Equação 2 por 2:
Isso resulta na Equação 1:

Passo 4

Como a Equação 1 é apenas uma repetição da Equação 2 multiplicada por 2, isso significa que ambas representam a mesma reta no plano cartesiano. Portanto, elas não são duas equações independentes, mas uma sobre a outra.

Passo 5

Quando temos duas equações que representam a mesma reta, isso implica que existem infinitas soluções para o sistema. Ou seja, qualquer ponto que satisfaça uma das equações automaticamente satisfaz a outra.

Passo 6

Para representar graficamente, podemos traçar uma das equações no plano:
Tomando a Equação 2:
Podemos encontrar dois pontos para desenhar a reta:
  • Quando , Ponto (0, 2)
  • Quando , Ponto (4, 0)
Traçando a reta que passa por esses pontos, veremos que a Equação 1 coincidiu exatamente com a Equação 2, confirmando que são a mesma reta.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, e as duas equações representam a mesma reta no plano. Portanto, há infinitas soluções e não há uma solução única.

Exercícios relacionados