Resolva os sistemas lineares a seguir pelos métodos iterativos visto em sala de aula (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel).
(a) l -7 x1+3 x2+2 x3=-2 x1+3 x2-x3=3 x1+x2-3 x3=-1 com x^0=(0.5,0.5,0.5) e varepsilon=0,1
Respostas: (a) (0.969,0.992,0.971)

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver o sistema linear usando os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
-7x1 + 3x2 + 2x3 = -2 x1 + 3x2 - x3 = 3 x1 + x2 - 3x3 = -1
Além disso, começamos com um palpite inicial x^0 = (0.5, 0.5, 0.5) e queremos uma precisão de varepsilon = 0,1. Vamos precisar entender como funcionam os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Método de Gauss-Jacobi
Este método envolve isolar cada variável em termos das outras e usar os valores das iterações anteriores para atualizar as soluções. Vamos reescrever as equações para isolar x1, x2 e x3:
  1. Da primeira equação:
x1 = 3x2 + 2x3 + 27
  1. Da segunda equação:
x2 = 3 + x3 - x13
  1. Da terceira equação:
x3 = x1 + x2 + 13
Começamos com x^0 = (0.5, 0.5, 0.5).

Passo 3

Primeira Iteração (k=1)
Usando o palpite inicial:
  1. Calculando x1^1:
x1^1 = 3(0.5) + 2(0.5) + 27 = 1.5 + 1 + 27 = 4.57 approx 0.643
  1. Calculando x2^1:
x2^1 = 3 + 0.5 - 0.53 = 33 = 1.0
  1. Calculando x3^1:
x3^1 = 0.5 + 0.5 + 13 = 23 approx 0.667
Então, x^1 approx (0.643, 1.0, 0.667).

Passo 4

Segunda Iteração (k=2)
Usando x^1:
  1. Calculando x1^2:
x1^2 = 3(1.0) + 2(0.667) + 27 = 3 + 1.334 + 27 = 6.3347 approx 0.905
  1. Calculando x2^2:
x2^2 = 3 + 0.667 - 0.6433 = 3.0243 approx 1.008
  1. Calculando x3^2:
x3^2 = 0.643 + 1.0 + 13 = 2.6433 approx 0.881
Então, x^2 approx (0.905, 1.008, 0.881).

Passo 5

Terceira Iteração (k=3)
Usando x^2:
  1. Calculando x1^3:
x1^3 = 3(1.008) + 2(0.881) + 27 = 3.024 + 1.762 + 27 = 6.7867 approx 0.969
  1. Calculando x2^3:
x2^3 = 3 + 0.881 - 0.9053 = 2.9763 approx 0.992
  1. Calculando x3^3:
x3^3 = 0.905 + 1.008 + 13 = 2.9133 approx 0.971
Então, x^3 approx (0.969, 0.992, 0.971).

Resposta

Após três iterações pelo método de Gauss-Jacobi, a solução aproximada do sistema é (0.969, 0.992, 0.971).

Exercícios relacionados