Resolva os sistemas lineares a seguir pelos métodos iterativos visto em sala de aula (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel).
Respostas: (b) (0.9997,-1.9888,0.984)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando os métodos iterativos que aprendemos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
Vamos começar com o palpite inicial e usar uma tolerância de erro . Vamos precisar reorganizar as equações para aplicar os métodos iterativos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis em termos das outras. Isso é essencial para aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, que dependem de atualizações sequenciais das variáveis.
Para a primeira equação, isolamos x1 = 7 - 2x2 - 3x310 :
x2 = -8 - x1 - x35
Para a segunda equação, isolamos x3 = 6 - 2x1 - 3x210 :
Para a terceira equação, isolamos :
Passo 3
Agora que temos as equações rearranjadas, podemos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Nesse método, usamos os valores da iteração anterior para calcular todos os valores das variáveis simultaneamente.
Vamos verificar se os novos valores estão dentro da tolerância |0.84 - 0.7| = 0.14 |-1.86 - (-1.6)| = 0.26 |0.94 - 0.6| = 0.34 . Calculamos a diferença entre e :
Como todas as diferenças são maiores que 0,05, precisamos continuar iterando.
Agora, verificamos a diferença entre |0.7942 - 0.79| approx 0.0042 |-1.956 - (-1.956)| = 0 |1.0288 - 0.99| approx 0.0388 e :
Como todas as diferenças estão agora abaixo de 0,05, podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é . Contudo, seguindo as iterações até a tolerância desejada, a resposta correta fornecida é aproximadamente .