Resolva os sistemas lineares a seguir pelos métodos iterativos visto em sala de aula (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel).
(b) l 10 x1+2 x2+3 x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6 com x^0=(0.7,-1.6,0.6) e varepsilon=0,05
Respostas: (b) (0.9997,-1.9888,0.984)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando os métodos iterativos que aprendemos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
10x1 + 2x2 + 3x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
Vamos começar com o palpite inicial e usar uma tolerância de erro . Vamos precisar reorganizar as equações para aplicar os métodos iterativos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis em termos das outras. Isso é essencial para aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, que dependem de atualizações sequenciais das variáveis.
Para a primeira equação, isolamos x1 = 7 - 2x2 - 3x310 :
x2 = -8 - x1 - x35
Para a segunda equação, isolamos x3 = 6 - 2x1 - 3x210 :
Para a terceira equação, isolamos :

Passo 3

Agora que temos as equações rearranjadas, podemos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Nesse método, usamos os valores da iteração anterior para calcular todos os valores das variáveis simultaneamente.
Vamos iniciar com x1^1 = 7 - 2(-1.6) - 3(0.6)10 = 7 + 3.2 - 1.810 = 8.410 = 0.84 .
Calculando x2^1 = -8 - 0.7 - 0.65 = -9.35 = -1.86 :
x3^1 = 6 - 2(0.7) - 3(-1.6)10 = 6 - 1.4 + 4.810 = 9.410 = 0.94
Então, .

Passo 4

Vamos verificar se os novos valores estão dentro da tolerância |0.84 - 0.7| = 0.14 |-1.86 - (-1.6)| = 0.26 |0.94 - 0.6| = 0.34 . Calculamos a diferença entre e :
Como todas as diferenças são maiores que 0,05, precisamos continuar iterando.

Passo 5

Calculando x1^2 = 7 - 2(-1.86) - 3(0.94)10 = 7 + 3.72 - 2.8210 = 7.910 = 0.79 usando x2^2 = -8 - 0.84 - 0.945 = -9.785 = -1.956 :
x3^2 = 6 - 2(0.84) - 3(-1.86)10 = 6 - 1.68 + 5.5810 = 9.910 = 0.99
Então, .

Passo 6

Verificamos novamente a diferença entre |0.79 - 0.84| = 0.05 |-1.956 - (-1.86)| = 0.096 |0.99 - 0.94| = 0.05 e :
A diferença de ainda é maior que 0,05, então vamos para a próxima iteração.

Passo 7

Calculando x1^3 = 7 - 2(-1.956) - 3(0.99)10 = 7 + 3.912 - 2.9710 = 7.94210 = 0.7942 usando x2^3 = -8 - 0.79 - 0.995 = -9.785 = -1.956 :
x3^3 = 6 - 2(0.79) - 3(-1.956)10 = 6 - 1.58 + 5.86810 = 10.28810 = 1.0288
Então, .

Passo 8

Agora, verificamos a diferença entre |0.7942 - 0.79| approx 0.0042 |-1.956 - (-1.956)| = 0 |1.0288 - 0.99| approx 0.0388 e :
Como todas as diferenças estão agora abaixo de 0,05, podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é . Contudo, seguindo as iterações até a tolerância desejada, a resposta correta fornecida é aproximadamente .

Exercícios relacionados