Resolva os sistemas lineares a seguir pelos métodos diretos visto em sala de aula (escalonamento, matriz inversa, regra de Cramer, eliminação de Gauss, fatoração LU).
Respostas: (a)

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da eliminação de Gauss. O sistema dado é:
Para resolver esse sistema, precisamos manipular as equações para “eliminar” uma variável de cada vez, facilitando a descoberta dos valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Esse formato facilita a aplicação das operações de eliminação.

Passo 3

Vamos usar a primeira equação para eliminar das outras duas equações. Para isso, faremos combinações lineares das linhas.
Primeiro, mantenha a primeira linha como está. Em seguida, para eliminar da segunda linha, subtraia metade da primeira linha da segunda:
Calculando:
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar da terceira linha. Para isso, subtraia 1.5 vezes a primeira linha da terceira linha:
Calculando:
A matriz agora é:

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os termos por 0.5 para facilitar:
Assim:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos usar a terceira linha para eliminar da segunda linha. Multiplicamos a terceira linha por 3.5 e somamos à segunda linha:
Calculando:
A matriz simplificada:

Passo 7

Agora, temos uma equação simples para na segunda linha:

Passo 8

Substituímos o valor de na terceira linha para encontrar :

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores de e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é .

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