Resolva os sistemas lineares a seguir pelos métodos diretos visto em sala de aula (escalonamento, matriz inversa, regra de Cramer, eliminação de Gauss, fatoração LU).
Respostas: (a)
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações lineares usando o método da eliminação de Gauss. O sistema dado é:
Para resolver esse sistema, precisamos manipular as equações para “eliminar” uma variável de cada vez, facilitando a descoberta dos valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Esse formato facilita a aplicação das operações de eliminação.
Passo 3
Vamos usar a primeira equação para eliminar das outras duas equações. Para isso, faremos combinações lineares das linhas.
Primeiro, mantenha a primeira linha como está. Em seguida, para eliminar da segunda linha, subtraia metade da primeira linha da segunda:
Calculando:
A matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar da terceira linha. Para isso, subtraia 1.5 vezes a primeira linha da terceira linha:
Calculando:
A matriz agora é:
Passo 5
Vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os termos por 0.5 para facilitar:
Assim:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos usar a terceira linha para eliminar da segunda linha. Multiplicamos a terceira linha por 3.5 e somamos à segunda linha:
Calculando:
A matriz simplificada:
Passo 7
Agora, temos uma equação simples para na segunda linha:
Passo 8
Substituímos o valor de na terceira linha para encontrar :
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores de e na primeira equação para encontrar :