Em cada situação abaixo, obtenha a área compreendida entre a curva f(x) e o eixo x no intervalo considerado:
(a) f(x) = 2x^2 + 3x + 1, entre as raízes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a área entre a curva da função e o eixo , mas somente entre as raízes dessa função. Basicamente, vamos calcular a área que a parábola forma com o eixo onde ela cruza o eixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de onde . Isso nos dá os limites de onde vamos calcular a área.
A equação fica:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:

Passo 3

Agora que temos as raízes e , vamos configurar a integral para encontrar a área entre essas duas pontas. A fórmula para a área é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Primeiro, encontramos as primitivas de cada termo:
Então, a integral completa fica:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Agora, subtraímos:
Como área não pode ser negativa, pegamos o valor absoluto:

Resposta

A área compreendida entre a curva e o eixo no intervalo entre as raízes é aproximadamente unidades de área.

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