Esboce o gráfico das funções (todas
- periódicas). Encontre a série de Fourier.
Resp.
b)
.
Resp.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função
, que é periódica com período
, e também encontrar a sua série de Fourier. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como aplicá-la em funções periódicas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier. A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais (cossenos e senos) com diferentes frequências e amplitudes. No caso da nossa função
, que é uma função par (ou seja,
), a série de Fourier vai conter apenas termos de cosseno.
Passo 3
Para encontrar a série de Fourier, precisamos calcular os coeficientes da série. A série de Fourier para uma função par é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente constante. -
são os coeficientes dos termos de cosseno.
Vamos começar calculando
.
Passo 4
O coeficiente
é dado por:
Substituindo
:
Como a função
é par, podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de
a
:
Calculando a integral:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Novamente, como a função é par, podemos simplificar:
Esta integral pode ser resolvida por partes ou utilizando tabelas de integrais. Após realizar os cálculos, encontramos que:
Resposta
A série de Fourier da função
, com período
, é dada por: