Esboce o gráfico das funções (todas 2 pi - periódicas). Encontre a série de Fourier.
f(x)=x^2-1, -pi
Resp.
b) pi^23-1+4.
sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot cos (n x)n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar o gráfico da função f(x) = x^2 - 1, que é periódica com período 2pi, e também encontrar a sua série de Fourier. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como aplicá-la em funções periódicas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier. A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de funções senoidais (cossenos e senos) com diferentes frequências e amplitudes. No caso da nossa função f(x) = x^2 - 1, que é uma função par (ou seja, f(-x) = f(x)), a série de Fourier vai conter apenas termos de cosseno.

Passo 3

Para encontrar a série de Fourier, precisamos calcular os coeficientes da série. A série de Fourier para uma função par é dada por:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx)
Onde:
  • a0 é o coeficiente constante.
  • an são os coeficientes dos termos de cosseno.
Vamos começar calculando a0.

Passo 4

O coeficiente a0 é dado por:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx
Substituindo f(x):
a0 = 1pi integral-pi^pi (x^2 - 1) , dx
Como a função x^2 - 1 é par, podemos simplificar a integral de -pi a pi para duas vezes a integral de 0 a pi:
a0 = 2pi integral0^pi (x^2 - 1) , dx
Calculando a integral:
integral0^pi x^2 , dx = [x^33]0^pi = pi^33
integral0^pi 1 , dx = [x]0^pi = pi
Então,
a0 = 2pi ( pi^33 - pi ) = 2pi ( pi^3 - 3pi3 ) = 2(pi^2 - 3)3

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Substituindo f(x):
an = 1pi integral-pi^pi (x^2 - 1) cos(nx) , dx
Novamente, como a função é par, podemos simplificar:
an = 2pi integral0^pi (x^2 - 1) cos(nx) , dx
Esta integral pode ser resolvida por partes ou utilizando tabelas de integrais. Após realizar os cálculos, encontramos que:
an = 4(-1)^n+1n^2

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = x^2 - 1, com período 2pi, é dada por:
f(x) = pi^23 - 1 + sumn=1^infty 4(-1)^n+1n^2 cos(nx)

Exercícios relacionados