Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto :
(d) .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos entender que a reta tangente toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Vamos usar cálculo diferencial para encontrar essa inclinação e, em seguida, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 3

Calculando a derivada:
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo e resolvendo para :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
©
Calcule as seguintes integrais definidas:
(d) .
Em cada situação abaixo, obtenha a área compreendida entre a curva e o eixo no intervalo considerado:
(d) .
Dada , achar as pre-imagens em cada caso:
(a)