Dada f:[0,2 pi] -> R, f(x)=|1/2 + sen(x)|, achar as pre-imagens f^(-1)(t) em cada caso:
(a) t = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! O problema está no campo de funções trigonométricas e envolve encontrar as pré-imagens de uma função dada. A gente vai precisar entender um pouco sobre a função seno e como resolver equações que envolvem o valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Queremos achar todos os valores de no intervalo que, quando colocados na função , resultam em . Basicamente, estamos procurando os pontos onde a função toca o eixo x.

Passo 3

Para encontrar esses valores de , começamos resolvendo a equação:
Como o valor absoluto de qualquer número é sempre zero ou positivo, a única maneira de o valor absoluto ser zero é se o que está dentro dele for igual a zero. Então, temos:
Isolando o seno:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar todos os valores de no intervalo onde . Sabemos que o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes do círculo trigonométrico. As soluções são:
Esses são os pontos onde a função será igual a zero.

Resposta

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