Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo :
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Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade e esboçar o gráfico da função no intervalo . Vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente do cosseno, para resolver cada parte.

Passo 2

Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como a função cosseno está definida para todos os números reais, o domínio de é:
íú

Passo 3

Imagem: A imagem de uma função trigonométrica é o conjunto dos valores que a função pode assumir. A função cosseno varia entre -1 e 1, e como temos um coeficiente de 2, multiplicamos esses valores:

Passo 4

Amplitude: A amplitude é metade da diferença entre o valor máximo e mínimo da imagem. Para , a amplitude é 2.

Passo 5

Período: O período de uma função cosseno básica é . Quando a função está na forma , o período é . Aqui, , então:
í

Passo 6

Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Funções trigonométricas como o cosseno não possuem assíntotas verticais ou horizontais, pois estão sempre limitadas entre -2 e 2.

Passo 7

Intervalos de Positividade: Precisamos encontrar onde .
O cosseno é positivo quando o ângulo está no primeiro e quarto quadrantes. Então:
Resolvendo para :
Mas considerando o intervalo , ajustamos:
Então, os intervalos de positividade dentro de são:

Passo 8

Esboço do Gráfico no Intervalo :
  • Amplitude: 2
  • Período:
  • Deslocamento de Fase: (a fun��ão está deslocada para a esquerda)
  • Pontos Importantes:
    • :
    • :
    • :
    • :
    • :
O gráfico será uma onda de cosseno que começa em 0, atinge -2 em , volta a 0 em , atinge 2 em e retorna a 0 em .

Resposta

Domínio: ; Imagem: ; Amplitude: 2; Período: ; Não possui assíntotas; Intervalos de positividade: e . O gráfico no intervalo é uma onda de cosseno com amplitude 2, período , iniciando em 0, passando por -2 em , voltando a 0 em , atingindo 2 em e retornando a 0 em .

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Calcule as seguintes integrais definidas:
(d) .
Calcule os seguintes valores:
(d)
Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto :
(d) .
Em cada situação abaixo, obtenha a área compreendida entre a curva e o eixo no intervalo considerado:
(d) .