Calcule domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade, e esboce o gráfico no intervalo
:
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o domínio, imagem, amplitude, período, assíntotas, intervalos de positividade e esboçar o gráfico da função
no intervalo
. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente do cosseno, para resolver cada parte.
Passo 2
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como a função cosseno está definida para todos os números reais, o domínio de
é:
Passo 3
Imagem: A imagem de uma função trigonométrica é o conjunto dos valores que a função pode assumir. A função cosseno varia entre -1 e 1, e como temos um coeficiente de 2, multiplicamos esses valores:
Passo 4
Amplitude: A amplitude é metade da diferença entre o valor máximo e mínimo da imagem. Para
, a amplitude é 2.
Passo 5
Período: O período de uma função cosseno básica é
. Quando a função está na forma
, o período é
. Aqui,
, então:
Passo 6
Assíntotas: Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Funções trigonométricas como o cosseno não possuem assíntotas verticais ou horizontais, pois estão sempre limitadas entre -2 e 2.
Passo 7
Intervalos de Positividade: Precisamos encontrar onde
.
O cosseno é positivo quando o ângulo está no primeiro e quarto quadrantes. Então:
Resolvendo para
:
Mas considerando o intervalo
, ajustamos:
Então, os intervalos de positividade dentro de
são:
Passo 8
Esboço do Gráfico no Intervalo
:
- Amplitude: 2
- Período:
- Deslocamento de Fase:
(a fun��ão está deslocada para a esquerda) - Pontos Importantes:
-
: -
: -
: -
: -
:
-
O gráfico será uma onda de cosseno que começa em 0, atinge -2 em
, volta a 0 em
, atinge 2 em
e retorna a 0 em
.
Resposta
Domínio:
; Imagem:
; Amplitude: 2; Período:
; Não possui assíntotas; Intervalos de positividade:
e
. O gráfico no intervalo
é uma onda de cosseno com amplitude 2, período
, iniciando em 0, passando por -2 em
, voltando a 0 em
, atingindo 2 em
e retornando a 0 em
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
(d) .
(d)
Calcule os seguintes valores:
(d)
(d)
Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto
:
(d) .
(d)
Em cada situação abaixo, obtenha a área compreendida entre a curva
e o eixo
no intervalo considerado:
(d) .
(d)