Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva y(x) no ponto P :
© y(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1, P(-1, -9).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso está na matéria de Cálculo, mais especificamente em derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a derivada da função e usar ela para achar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva num ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. E a inclinação da curva é dada pela derivada da função naquele ponto. Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de .
A função dada é:
Para encontrar a derivada , usamos as regras básicas de derivação:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 13.

Passo 4

Com a inclinação e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo , e :
Agora, vamos simplificar para a forma mais comum:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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