Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto
:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da tangente e, com isso, montar a equação da reta. Precisamos calcular a derivada de
e depois avaliar essa derivada no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função é um quociente, então vamos usar a Regra do Quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos
, a derivada é
.
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos derivar
e
separadamente.
Para
, podemos reescrever como
. Usando a Regra da Cadeia, a derivada é:
Para
, a derivada é:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Para simplificar ainda mais, colocamos tudo sobre um denominador comum:
Expandindo o numerador:
Então:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da tangente em
é
.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Ou, simplificando:
Exercícios relacionados
Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto
:
© .
©
Calcule as seguintes integrais definidas:
© .
©
Determine os seguintes limites.
(d) .
(d)
Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
Resp.
d)
Resp.
d)