Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto :
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da tangente e, com isso, montar a equação da reta. Precisamos calcular a derivada de e depois avaliar essa derivada no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função é um quociente, então vamos usar a Regra do Quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é .
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar e separadamente.
Para , podemos reescrever como . Usando a Regra da Cadeia, a derivada é:
Para , a derivada é:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Quociente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Para simplificar ainda mais, colocamos tudo sobre um denominador comum:
Expandindo o numerador:
Então:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Então, a inclinação da tangente em é .

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:
Ou, simplificando:

Exercícios relacionados

Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto :
© .
Calcule as seguintes integrais definidas:
© .
Determine os seguintes limites.
(d) .
Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.

Resp.
d)