Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
f(x)=e^x ; a=4
Resp.
d) e^x=e^4 cdot e^x-4=e^4 sumn=0^infty (x-4)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a expansão de Taylor da função em torno do ponto . Isso significa que queremos expressar como uma série infinita centrada em . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série de Taylor para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n em torno de um ponto :
No nosso caso, e . Precisamos calcular as derivadas de em .

Passo 3

Sabemos que a função f^(n)(x) = e^x tem uma propriedade muito legal: todas as suas derivadas são iguais a ela mesma. Ou seja, para qualquer f^(n)(4) = e^4 :
Portanto, em :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
e^x = sumn=0^infty e^4n! (x - 4)^n
Podemos fatorar o e^x = e^4 sumn=0^infty (x - 4)^nn! da soma, ficando:

Resposta

A expansão de Taylor de e^x = e^4 cdot sumn=0^infty (x - 4)^nn! em torno de é:

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