Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.

Resp.
d)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a expansão de Taylor da função em torno do ponto . Isso significa que queremos expressar como uma série infinita centrada em . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série de Taylor para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função em torno de um ponto :
No nosso caso, e . Precisamos calcular as derivadas de em .

Passo 3

Sabemos que a função tem uma propriedade muito legal: todas as suas derivadas são iguais a ela mesma. Ou seja, para qualquer :
Portanto, em :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Podemos fatorar o da soma, ficando:

Resposta

A expansão de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados

Determine os seguintes limites.
(d) .
Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto :
(f) .
Determine as derivadas das seguintes funções.
(a) .