Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
Resp.
d)
Resp.
d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a expansão de Taylor da função
em torno do ponto
. Isso significa que queremos expressar
como uma série infinita centrada em
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série de Taylor para funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função
em torno de um ponto
:
No nosso caso,
e
. Precisamos calcular as derivadas de
em
.
Passo 3
Sabemos que a função
tem uma propriedade muito legal: todas as suas derivadas são iguais a ela mesma. Ou seja, para qualquer
:
Portanto, em
:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Podemos fatorar o
da soma, ficando:
Resposta
A expansão de Taylor de
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Determine os seguintes limites.
(d) .
(d)
Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto
:
(f) .
(f)
Determine as derivadas das seguintes funções.
(a) .
(a)