Em cada situação abaixo, obtenha a equação da reta tangente à curva y(x) no ponto P :
(a) y(x) = 2, P(5, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e um ponto . O objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Nosso assunto principal é cálculo diferencial, especificamente derivadas e tangentes a curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função e como usar essa derivada para encontrar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Essa é uma função constante, ou seja, para qualquer valor de , sempre será igual a 2. Graficamente, isso significa que a curva é uma reta horizontal que passa pelo ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada dessa função. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa curva. Para a função constante , a derivada é:
Isso porque uma reta horizontal não tem inclinação; ela é plana.

Passo 4

Com a derivada em mãos, podemos usar a fórmula da reta tangente. A fórmula geral para a equação da reta tangente em um ponto é:
No nosso caso, o ponto é e a derivada é 0. Substituindo esses valores na fórmula:
Simplificando a equação:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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