Para cada um dos subconjuntos S subset V, onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, [S] :
(d) S=(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1), V=R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço vetorial . Nosso objetivo é encontrar o subespaço gerado por esse conjunto , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço gerado por [S] = acdot(1,0,0,1) + bcdot(0,1,0,1) + ccdot(0,0,1,1) | a, b, c in R . Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores em . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser formado multiplicando cada vetor de por um escalar e somando esses resultados. Matemáticamente, isso é representado por:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os vetores em acdot(1,0,0,1) + bcdot(0,1,0,1) + ccdot(0,0,1,1) = (0,0,0,0) são linearmente independentes. Isso é importante porque se forem independentes, o subespaço gerado por a = 0 b = 0 c = 0 a + b + c = 0 terá dimensão igual ao número de vetores, e os vetores formam uma base para . Para testar a independência, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
As primeiras três equações nos dizem que , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como os vetores são linearmente independentes e temos três vetores em , o subespaço gerado por será um subespaço de dimensão 3. Isso significa que é composto por todos os vetores em que podem ser expressos como combinação linear dos vetores de .

Resposta

O subespaço gerado por [S] = (a, b, c, a + b + c) g| a, b, c in R em é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde são números reais. Portanto, é um subespaço de dimensão 3 em .

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