Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(j) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço vetorial . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se existe uma relação onde uma combinação dos vetores de resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores de que resulta no vetor zero. Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso significa que cada componente das somas deve ser igual a zero. Vamos escrever isso como um sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Da quarta equação: => .
Substituindo na primeira equação: => .
Encontramos que a única solução é e .
Passo 4
Como a única solução para o sistema é e , isso significa que não existe uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor zero.
Resposta
O conjunto é linearmente independente (L.I.) no espaço .