Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(j) S=(1,2,2,-3),(-1,4,-2,0), V=R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) no espaço vetorial . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se existe uma relação onde uma combinação dos vetores de resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores de a cdot (1,2,2,-3) + b cdot (-1,4,-2,0) = (0,0,0,0) que resulta no vetor zero. Ou seja, queremos encontrar escalares a cdot 1 + b cdot (-1) = 0 a cdot 2 + b cdot 4 = 0 a cdot 2 + b cdot (-2) = 0 a cdot (-3) + b cdot 0 = 0 e tais que:
Isso significa que cada componente das somas deve ser igual a zero. Vamos escrever isso como um sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
  1. Da quarta equação: => .
  2. Substituindo na primeira equação: => .
Encontramos que a única solução é e .

Passo 4

Como a única solução para o sistema é e , isso significa que não existe uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (L.I.) no espaço .

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