Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a) ^* W=(x, y, z) in R^3 / x+z=0 e x-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de geradores para o subespaço em que satisfaz as equações e . Aqui estamos trabalhando com espaços vetoriais e subespaços, que são conceitos de álgebra linear. Para isso, vamos precisar usar um pouco de sistema linear para encontrar os vetores que geram esse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas equações que definem nosso subespaço :
Nosso objetivo é encontrar todos os vetores que satisfazem essas equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos de outras. Começando pela segunda equação:
x - 2y = 0
Isso nos dá:
x = 2y

Passo 4

Agora, substituímos x + z = 0 na primeira equação:
2y + z = 0
z = -2y
Dessa forma, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Agora temos todas as variáveis expressas em termos de x = 2y :
y = y
z = -2y
(x, y, z) = (2y, y, -2y)
Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:

Passo 6

Podemos fatorar o (x, y, z) = y cdot (2, 1, -2) para deixar a expressão mais clara:
Isso mostra que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor .

Passo 7

Portanto, o conjunto de geradores para o subespaço é formado pelo vetor . Isso significa que qualquer vetor em pode ser obtido multiplicando esse vetor por algum escalar.

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

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