Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a)
e
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
em
que satisfaz as equações
e
. Aqui estamos trabalhando com espaços vetoriais e subespaços, que são conceitos de álgebra linear. Para isso, vamos precisar usar um pouco de sistema linear para encontrar os vetores que geram esse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas equações que definem nosso subespaço
:
Nosso objetivo é encontrar todos os vetores
que satisfazem essas equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos de outras. Começando pela segunda equação:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação:
Dessa forma, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora temos todas as variáveis expressas em termos de
:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço
pode ser escrito como:
Passo 6
Podemos fatorar o
para deixar a expressão mais clara:
Isso mostra que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
.
Passo 7
Portanto, o conjunto de geradores para o subespaço
é formado pelo vetor
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser obtido multiplicando esse vetor por algum escalar.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
.