Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(b) Qualquer vetor em R^3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores u= (-5,3,2) e v=(3,-1,3).

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pergunta se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Basicamente, queremos saber se esses dois vetores conseguem “criar” qualquer vetor no espaço tridimensional usando multiplicações e somas deles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores w = a cdot u + b cdot v e é qualquer vetor que pode ser escrito da forma:
onde e são escalares (números reais). Isso significa que estamos escalando cada vetor e depois somando os resultados.

Passo 3

Agora, para que qualquer vetor em possa ser expresso como uma combinação linear de e , esses dois vetores precisam gerar o espaço . No entanto, é um espaço tridimensional, o que significa que precisamos de três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço.

Passo 4

Como temos apenas dois vetores ( e ), mesmo se eles forem linearmente independentes, eles só conseguem gerar um plano dentro de . Ou seja, eles não conseguem alcançar todos os vetores tridimensionais, mas apenas aqueles que estão nesse plano específico.

Passo 5

Para confirmar, podemos verificar se existe algum vetor em que não pode ser escrito como combinação linear de e . Por exemplo, o vetor não pode ser obtido apenas com combinações de e , já que não há combinação de e que satisfaça , e simultaneamente.

Resposta

Falso (F). Não é possível expressar qualquer vetor em como combinação linear dos vetores e , pois são apenas dois vetores e é um espaço tridimensional que requer três vetores linearmente independentes para ser completamente gerado.

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