Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(b) Qualquer vetor em
pode ser expresso como combinação linear dos vetores
e
.
(b) Qualquer vetor em
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pergunta se qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Basicamente, queremos saber se esses dois vetores conseguem “criar” qualquer vetor no espaço tridimensional usando multiplicações e somas deles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores
e
é qualquer vetor que pode ser escrito da forma:
onde
e
são escalares (números reais). Isso significa que estamos escalando cada vetor e depois somando os resultados.
Passo 3
Agora, para que qualquer vetor em
possa ser expresso como uma combinação linear de
e
, esses dois vetores precisam gerar o espaço
. No entanto,
é um espaço tridimensional, o que significa que precisamos de três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço.
Passo 4
Como temos apenas dois vetores (
e
), mesmo se eles forem linearmente independentes, eles só conseguem gerar um plano dentro de
. Ou seja, eles não conseguem alcançar todos os vetores tridimensionais, mas apenas aqueles que estão nesse plano específico.
Passo 5
Para confirmar, podemos verificar se existe algum vetor em
que não pode ser escrito como combinação linear de
e
. Por exemplo, o vetor
não pode ser obtido apenas com combinações de
e
, já que não há combinação de
e
que satisfaça
,
e
simultaneamente.
Resposta
Falso (F). Não é possível expressar qualquer vetor em
como combinação linear dos vetores
e
, pois são apenas dois vetores e
é um espaço tridimensional que requer três vetores linearmente independentes para ser completamente gerado.