Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), e justifique sua resposta.
(d) O conjunto (1,-1,2),(-1,1,1),(0,0,1) forma uma base para R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para a gente dizer se o conjunto de vetores (1,-1,2),, (-1,1,1),, (0,0,1) forma uma base para o espaço tridimensional R^3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Assim, temos:
A = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 2 & 1 & 1

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para R^3.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot 1 & 0 1 & 1 - (-1) cdot -1 & 0 2 & 1 + 0 cdot -1 & 1 2 & 1
Calculando cada menor:
1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1
-1 & 0 2 & 1 = (-1)(1) - (0)(2) = -1
E o último termo é zero. Então:
det(A) = 1 cdot 1 - (-1) cdot (-1) + 0 = 1 - 1 + 0 = 0

Resposta

Falso. O determinante da matriz formada pelos vetores é zero, então eles não são linearmente independentes e não formam uma base para R^3.

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