Para cada um dos subconjuntos
, onde
é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por
, isto é,
:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de vetores
dentro do espaço vetorial
. A tarefa é encontrar o subespaço gerado por
, que a gente denota por
. Isso significa que queremos descobrir todos os vetores que podem ser formados combinando os vetores de
de maneira linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores em
é qualquer vetor que pode ser escrito na forma:
onde
e
são números reais. Nosso objetivo é encontrar todos os possíveis vetores que podemos obter dessa combinação.
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear:
Simplificando cada componente, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que isso significa. Todo vetor no subespaço
tem a forma
. Podemos ver que as duas primeiras componentes são iguais e dependem de
e
, enquanto a terceira componente depende apenas de
.
Passo 5
Para descrever o subespaço de forma mais clara, podemos expressar
parametrizando os vetores com base em
e
. Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso mostra que
é formado por todos os vetores que seguem essa relação entre suas componentes.
Resposta
O subespaço gerado por
em
é o conjunto de vetores da forma
, onde
e
são números reais. Portanto,