Para cada um dos subconjuntos S subset V, onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, [S] :
(b) * S=(1,1,1),(2,2,0), V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de vetores dentro do espaço vetorial . A tarefa é encontrar o subespaço gerado por , que a gente denota por . Isso significa que queremos descobrir todos os vetores que podem ser formados combinando os vetores de de maneira linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear dos vetores em a cdot (1,1,1) + b cdot (2,2,0) é qualquer vetor que pode ser escrito na forma:
onde e são números reais. Nosso objetivo é encontrar todos os possíveis vetores que podemos obter dessa combinação.

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
a cdot (1,1,1) + b cdot (2,2,0) = (a cdot 1 + b cdot 2, ; a cdot 1 + b cdot 2, ; a cdot 1 + b cdot 0)
Simplificando cada componente, temos:
(a + 2b, ; a + 2b, ; a)

Passo 4

Agora, vamos analisar o que isso significa. Todo vetor no subespaço tem a forma . Podemos ver que as duas primeiras componentes são iguais e dependem de e , enquanto a terceira componente depende apenas de .

Passo 5

Para descrever o subespaço de forma mais clara, podemos expressar (a + 2b, ; a + 2b, ; a) parametrizando os vetores com base em e . Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que é formado por todos os vetores que seguem essa relação entre suas componentes.

Resposta

O subespaço gerado por [S] = , (a + 2b,; a + 2b,; a) ;g|; a, b in R , em é o conjunto de vetores da forma , onde e são números reais. Portanto,

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