Verificar se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso está ligado à álgebra linear, especificamente ao conceito de subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos checar se
satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado pela adição de vetores e ser fechado pela multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado pela adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que para
e
:
Somando as duas equações:
Ou seja, a condição
também se mantém para
, então
é fechado pela adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado pela multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Como
, multiplicando ambos os lados por
:
Então,
também satisfaz
, o que significa que
é fechado pela multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.