Verificar se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais do R^3
S=(x, y, z) in R^3 / x=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso está ligado à álgebra linear, especificamente ao conceito de subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos checar se satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado pela adição de vetores e ser fechado pela multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a 0 = 2 times 0 Rightarrow 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se x1 = 2y1 e x2 = 2y2 é fechado pela adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer x1 + x2 = 2y1 + 2y2 = 2(y1 + y2) e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que para e :
Somando as duas equações:
Ou seja, a condição também se mantém para , então é fechado pela adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se cx = 2(cy) é fechado pela multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer vetor em e qualquer escalar , o vetor também deve estar em .
Como , multiplicando ambos os lados por :
Então, também satisfaz , o que significa que é fechado pela multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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