Em R^2, considere o conjunto beta=(2,1),(1,-1). Mostre que beta é uma base de R^2 e calcule [(4,-1)]beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o conjunto beta = (2,1), (1,-1) é uma base de R^2 e depois calcular as coordenadas de (4,-1) nessa base. Estamos trabalhando com base vetorial e coordenadas em uma base no espaço bidimensional. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar coordenadas de um vetor em relação a essa base.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que beta é uma base de R^2. Para isso, precisamos verificar se os vetores em beta são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^2. Como temos dois vetores em um espaço bidimensional, basta provar que eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
a(2,1) + b(1,-1) = (0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
2a + b = 0 a - b = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos a = b. Substituindo na primeira:
2a + a = 0 3a = 0 a = 0
Então, b = 0. Como a única solução é trivial ( a = b = 0), os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores são linearmente independentes e existem dois deles em R^2, concluímos que beta é uma base de R^2.

Passo 6

Agora, vamos calcular [(4,-1)]beta, ou seja, as coordenadas do vetor (4,-1) na base beta. Precisamos encontrar escalares a e b tais que:
a(2,1) + b(1,-1) = (4,-1)

Passo 7

Isso resulta no seguinte sistema de equações:
2a + b = 4 a - b = -1

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
a - b = -1 Rightarrow a = b - 1
Substituindo na primeira equação:
2(b - 1) + b = 4 2b - 2 + b = 4 3b = 6 b = 2
Então, a = 2 - 1 = 1.

Resposta

As coordenadas de (4,-1) na base beta são [1,,2].

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