Em
, considere o conjunto
. Mostre que
é uma base de
calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que o conjunto
é uma base de
e depois calcular as coordenadas de
nessa base. Estamos trabalhando com base vetorial e coordenadas em uma base no espaço bidimensional. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como encontrar coordenadas de um vetor em relação a essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é uma base de
. Para isso, precisamos verificar se os vetores em
são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço
. Como temos dois vetores em um espaço bidimensional, basta provar que eles são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Da segunda equação, temos
Então,
. Como a única solução é trivial (
), os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como os vetores são linearmente independentes e existem dois deles em
, concluímos que
é uma base de
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
, ou seja, as coordenadas do vetor
na base
. Precisamos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 7
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Resposta
As coordenadas de
na base
são
.